이곳은 개발을 위한 베타 사이트 입니다.기여내역은 언제든 초기화될 수 있으며, 예기치 못한 오류가 발생할 수 있습니다.문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 노름공간 (문단 편집) ==== 바나흐 공간 ==== 노름위상에서 완비성을 갖춘 노름공간을 '''바나흐 공간'''(Banach space)이라고 한다. 노름공간 [math(X)]의 점렬 [math((x_n))]에 대하여 [math(\sum_{n=1}^\infty \|x_n\|)]이 수렴하면 급수 [math(\sum_{n=1}^\infty x_n)]을 '''절대수렴'''하는 급수라고 한다. 절대수렴성 급수의 수렴은 노름공간의 완비성과 동치이다. ||'''[증명]''' 바나흐 공간 [math(X)]의 절대수렴 급수 [math(\sum_{n=1}^\infty x_n)]에 대하여 점렬 [math((S_N))]을 [math(S_N = \sum_{n=1}^N x_n)]으로 정의하면, [math(N, M \to \infty)] (단, [math(N>M)])일 때 {{{#!wiki style="text-align:center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \| S_N-S_M \| \le \sum_{M+1}^N \|x_n\| \to 0 \end{aligned} )]}}} 이므로 점렬 [math((S_N))]은 코시열로 수렴한다. 즉, 급수 [math(\sum_{n=1}^\infty x_n)]은 수렴한다. 반대로, 노름공간 [math(X)]의 모든 절대수렴 급수가 수렴한다고 가정하면, [math(X)]의 코시열 [math((x_n))]에 대하여 각 [math(k \in \mathbb{N})]가 주어졌을 때 [math(m, n \ge n_k)]이면 [math(\| x_m-x_n \| < 2^{-k})]를 만족시키는 [math(n_k\in\N)]가 존재한다. [math(X)]의 점렬 [math((y_k))]를 {{{#!wiki style="text-align:center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} y_1 &= x_1 \\ y_k &= x_{n_k} - x_{n_{k-1}} \quad {\sf if} \quad k>1 \end{aligned} )]}}} 로 정의하자. 그러면 {{{#!wiki style="text-align:center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} x_n = \lim_{k\to\infty} x_{n_k} = \sum_{k=1}^\infty y_k \end{aligned} )]}}} 이고 {{{#!wiki style="text-align:center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \sum_{k=1}^\infty \|y_k\| \le \|y_1\| +\sum_{k=1}^\infty 2^{-k} = \|x_1\|+1 < \infty \end{aligned} )]}}} 이므로 [math((x_n))]은 수렴한다. 즉, [math(X)]는 바나흐 공간이다.||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기