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== 개요 ==
{{{+2 [[關]][[係]] / Relation}}}

복수의 대상이 서로 관련하여 이루는 특성. [[현대]] [[한국어]]에서는 "a, b, c가 관계를 '''맺는다''' 같은 표현을 주로 쓴다. 예를 들어 '1+1은 2와 '''같다'''', '5는 3보다 '''크다'''', '철수가 영희에게 사과를 '''준다'''' 등이 관계를 나타내는 대표적인 예시다.
== 상세 ==
세상에는 매우 다양한 관계들이 있다. 나무위키에서 다루는 대표적인 관계들은 [[대국관계일람]], [[가족관계]] 같은 문서들에서 확인할 수 있다.

위 예시들에서 나타나듯 자연 [[언어]]에서 관계는 [[동사(품사)|동사]], [[형용사]]처럼 [[술어]] 역할을 하는 어휘에 의해 표현된다. 따라서 [[수리논리학]]에서 관계는 논항이 여럿인 술어, 즉 다항 술어(polyadic predicate)로 나타낸다. 1항 술어가 나타내는 것이 [[속성]]이라고 여겨지므로, [[형이상학]]에서는 다항 술어가 나타내는 것인 관계가 속성과 매우 유사한 것 혹은 속성의 일종이라고 분석하는 경우가 일반적이다. 후자인 경우 관계는 1항 속성(monadic property)에 대비하여 "다항 속성", 혹은 "관계적 속성(relational property)"라고 부르고는 한다.

[[고틀로프 프레게]]가 관계를 [[함수]]로 분석한 이래로 관계는 대개 [[집합론]]을 통해 분석된다. 자세한 내용은 [[#s-2|하단 문서로]]. 다만 엄밀히 따지자면 [[수리논리학]]적 관점에서 하단 정의는 관계의 외연(extension)에 대한 정의로 이해된다. 예를 들어 [[ZFC 공리계|표준적 집합론]]의 언어에서 이항 술어인 "∈"이 표현하는 관계, 즉 원소-집합 관계는 기초적인 것으로 전제되어야만 하기 때문이다.

== [[집합론]]에서의 정의 ==
[include(틀:수학기초론)]
어떤 집합 [math(G)]가 집합 [math(X_1, X_2, \cdots, X_n )]의 곱집합(Cartesian Product) [math(\displaystyle \prod_{i=1}^{n} X_i = X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n = \{(x_1,x_2, \cdots, x_n)|x_1 \in X_1, x_2 \in X_2, \cdots, x_n \in X_n \} )]의 부분집합이라고 하자. 즉 [math(\displaystyle G \subset \prod_{i=1}^{n} X_i)]라고 하자. 이때 "[math(X_1, X_2, \cdots, X_n )] 위의 관계 [math(R)]"은 [math((n+1))] [[튜플]] [math( (X_1, X_2, \cdots, X_n, G))]로 정의하며, [math(G)]는 "관계 [math(R)]의 그래프"라고 부른다.

하지만 경우에 따라서는 "[math(X_1, X_2, \cdots, X_n )] 위의 관계 [math(R)]"은 그냥 [math(R=G)]라고 정의되기도 한다. 이 경우 [math(n)]항 술어 [math(R)]는 단순히 집합 [math(X_1, X_2,..., X_n )] 각각의 임의의 원소들로 이루어진 [math(n)] 튜플의 집합으로 정의된다.

위 두 정의 가운데 어떤 것을 취하든, [math(n)]개의 집합 [math(X_1, X_2, \cdots, X_n)] 각각의 임의의 원소 [math(x_1, x_2,..., x_n )]에 대해 [math((x_1, x_2, \cdots, x_n) \in G)]이 성립하는 것을 두고 "[math(R x_1 x_2 \cdots x_n)]"라고 정의한다. 이는 일상어에서 "[math(x_1, x_2, \cdots, x_n)]이 관계 [math(R)]을 맺는다"라고 말하는 것에 대응한다.

달리 '''사상'''(map)이라고도 표현하며, 집합 간의 관계를 나타내는 기호는 한쪽 끝이 막혀 있는 화살표([math(\mapsto)])로 표기한다.

=== 이항 관계 ===
'''이항 관계(Binary Relation, 二項關係)'''란 위 정의를 따르되 다만 [math(n=2)]인 경우에 해당한다. 즉 집합 [math(X, Y)]와 사이의 이항 관계 [math(R)]는 곱집합 [math(X\times Y=\left\{\left(x, y\right)|x\in X, y\in Y\right\})]의 부분집합 [math(G)]에 대해 순서 3중체 [math(\left(X, Y, G\right))]로 정의되거나, 혹은 [math(G)]로 정의된다. 후자의 경우 [math(R)]은 집합 [math(X, Y)] 각각의 원소로 이루어진 순서 2중체, 즉 [[순서쌍]]들의 집합으로 정의되는 것이다.

그리고 이항 관계에 한하여 [math(X, Y)] 각각의 어떤 원소 [math(x, y)]가 [math(\left(x, y\right)\in G)]를 만족하는 것을 관례상 "[math(Rxy)]" 뿐 아니라 "[math(xRy)]"라고 쓰기도 한다.

이항 관계 [math(R)]의 정의역(domain), 치역(range), 역(field)은 다음과 같이 정의된다.
 * 정의역: ([math(G)]의 원소들의 왼쪽 성분의 집합) = [math(\left\{x\in X| \exists y\in Y : xRy\right\}=\text{dom} \,R)]
 * 치역: ([math(G)]의 원소들의 오른쪽 성분의 집합) = [math(\left\{y\in Y| \exists x\in X : xRy\right\}=\text{ran} \,R)]
 * 역: (정의역과 치역의 합집합)=[math(\text{dom} \,R \cup \text{ran} \,R=\text{fld} \, R)]

이항 관계 [math(R)]의 '''역관계''' [math(R^{-1})]는 [math(G)]의 모든 원소들을 좌우 순서를 바꾼 집합 [math(G'=\left\{\left(y, x\right)| \left(x, y\right)\in G\right\})]에 대하여 순서 3중체 [math(\left(Y, X, G'\right))], 혹은 [math(G')]를 말한다.

[math(X)]와 [math(Y)] 사이의 이항 관계 [math(R)]이 있고, [math(Y)]와 [math(Z)] 사이의 이항 관계 [math(S)]가 있다고 할 때, '''합성 이항 관계''' [math(S\circ R)]는 [math(H=\left\{\left(x, z\right)|\exists y \in Y : xRy \,\ \text{and} \,\ ySz\right\})]에 대하여 순서모음 [math(\left(X, Z, H\right))], 혹은 [math(H')]로 정의된다.

[math(X=Y)]인 경우, 즉 출발 집합과 도착 집합이 모두 [math(X)]로 같은 이항 관계를 [math(X)]에서의 이항 관계라 한다.

==== 이항 관계의 대표적인 특성들 ====
집합 [math(X)] 위의 이항 관계 [math(R)]이 띨 수 있는 대표적인 성질들은 다음과 같다:
 * '''반사성'''(or 재귀성; reflexivity): [math(\forall x \in X: xRx)]
 * '''대칭성'''(symmetricity): [math(\forall x,y \in X: xRy \to yRx)]
 * '''비대칭성'''(asymmetricity): [math(\forall x,y \in X: xRy \to \neg yRx)]
 * '''반대칭성'''(antisymmetricity):  [math(\forall x,y \in X: (xRy \wedge yRx) \to (x=y))]
 * '''전이성'''(추이성, 이행성, transitivity): [math(\forall x,y,z \in X: (xRy \wedge yRz) \to (xRz))]
 * '''[[동치관계]]''': [math(R)]이 반사성, 대칭성, 전이성을 모두 만족시키는 경우.
 * '''[[순서 관계|부분순서관계]]''': [math(R)]이 반사성, 반대칭성, 전이성을 모두 만족시키는 경우.[* 순부분순서는 반사성 대신 비반사성을 만족시킨다.]

=== 예시 ===
 * [[함수]]는 대표적인 이항 관계의 예이다. 함수 [math(f:X\mapsto Y)]는 정의역이 [math(X)]이고 정의역의 임의의 원소 [math(x)]에 대하여 [math(xRy)]가 성립하는 [math(y\in Y)]가 [[유일성|유일하게 존재]]하는 [math(X, Y)]사이의 이항 관계 [math(R)]와 같다.

== 순서론 ==
순서론(order theory)에서 [[순서관계]]의 비교 가능성(comparability)은 이항관계의 주요한 하나로 [[순열]](permutation 또는 porting)과 [[정렬]](monotonic order 또는 sorting)을 가능하게 한다. 
 * 비교 가능성(comparability)
 부분순서집합 [math(\left(A, \leq \right))]가 주어졌을 때, 집합 [math(A)]의 두 원소 [math(a, b)]가 [math(a \leq b)]이거나 [math(b \leq a)]이면 a와 b는 '''비교 가능하다(comparable)'''고 하며, 그렇지 않으면 a와 b는 '''비교 불가능하다(incomparable)'''고 한다.

== 기타 ==
 * [[성관계]]를 '관계'라고 표현하는 경우가 있다. 영문의 'intercourse'라는 단어와 대응되며, 'sexual'을 제외하고 단독으로 사용할 수 있다. 이 역시 다의어로 '의사소통'의 뜻을 동시에 지니고 있다.

[[분류:집합론]][[분류:논리학]][[분류:한자어]]