[include(틀:고전역학)] [목차] == 개요 == '''단진자(simple pendulum)'''는 고정된 점과 질점이 일정한 거리를 유지하면서 연직면 상에서 움직이는 진동자([[진자]])를 일컫는다. 이 단진자는 어떠한 힘의 개입도 존재하지 않는다면 제3종 [[영구기관]] 중 하나이다. == 단진자 운동 분석 == [[파일:나무_단진자_개요.png|width=200&align=center]] 위 그림과 같이 실로 매달린 추가 중력을 받으며 왕복운동을 하고 있다. 실의 길이는 일정하므로 추의 위치는 평형점에서 떨어진 각도 하나로 나타낼 수 있다. 즉 '''운동의 자유도는 1'''이다. 질량이 [math( m )]인 추가 길이 [math( l )]인 실에 매달리며 평형점으로 부터 [math( \theta )]만큼 떨어져 있다고 하면, 운동 방정식을 [math( \theta )]에 관한 미분 방정식으로 표현할 수 있다. 평형점으로 부터 각도 [math( \theta )] 만큼 떨어져 있을 때, [math(m)]이 받는 토크는 중력 분력 [math(mg\sin{\theta})]에 의한 것이며, 이 힘은 고정점으로 부터 [math(l)]만큼 떨어져 있다는 것을 상기하면, 운동 방정식은 아래와 같이 세울 수 있다.[* 이 문서에서는 분수꼴[math(\displaystyle \left( \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} \right))]인 라이프니츠 표기가 아닌, 변수에 점을 찍는([math(\ddot{x})]) 뉴턴 표기를 쓴다.] {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle ml^{2} \ddot{\theta}=-mgl \sin{\theta})] }}} 참고로, 음의 부호는 이것이 복원 토크임을 나타내기 위해 도입된 것이다. 이것을 다시 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \ddot{\theta}+\frac{g}{l} \sin{\theta}=0)] }}} 이 된다. [math( {g})]는 [[중력가속도]]. === 근사법 === 기준선으로 부터의 각 [math(\theta)]가 매우 작다면[* 대략 [math(0<\theta<30\degree)]], [math(\sin{\theta} \approx \theta )]로 근사할 수 있으므로 위에서 구한 미분방정식은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \ddot{\theta}+\frac{g}{l} \theta=0)] }}} 으로 바뀌고, 위 방정식은 선형 방정식이므로 쉽게 풀린다. 따라서 이 방정식의 해는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \theta(t)=\theta_{0} \cos{(\omega_{0} t + \phi )}, \qquad \omega_{0} \equiv \sqrt{\frac{g}{l}})] }}} 이다. [math(\theta_{0})]는 최대로 도달하는 각, [math(\phi)]는 위상차이다. [math(x=l \sin{\theta}\approx l \theta)]임을 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle x(t)=x_{0} \sin{( \omega_{0} t + \phi )})] }}} 임을 쉽게 알 수 있다. 여기서 [math( l \theta_{0} \equiv x_{0})]로 놓았다. [anchor(진자의 등시성)]또한, 위의 미분 방정식에서 단진자의 각진동수 [math(\omega_{0}=\sqrt{g/l})]을 얻으므로 단진자의 주기 [math( \displaystyle T={2\pi}/{\omega} )]는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}})] }}} 가 된다. 이 결과로부터 단진자의 주기는 추의 질량이나 진폭에 의존하지 않음을 알 수 있다. 다만, 이것은 근사해서 구한 주기이므로 초기 각도가 커질 수록 실제 진자의 주기와 맞지 않게 된다. 이에 대한 건 아래 서술하였다. 진자의 속도와 가속도는 각각 [math(x(t))]를 시간에 대해 도함수와 이계도 함수로 주어지므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \dot{x}(t)&= \omega_{0} x_{0} \cos{( \omega_{0} t + \phi )} \\ \ddot{x}(t)&=-\omega_{0}^{2}x_{0} \sin{( \omega_{0} t + \phi )} \end{aligned})] }}} 임을 알 수 있다. 주의해야 하는 것은 단진자의 최하점에서 물체에 작용하는 힘은 없고, 관성으로 인해 진자가 움직인다고 생각할 수 있는데, 그것은 틀린 생각이라는 점이다. 단진자는 최하점 부근에서 원궤도로 움직이기 때문에 최하점에서 '''구심력에 해당하는 힘이 존재한다.''' 또한, 위의 가속도 식에서 적절한 조건을 대입하면, 최하점에서 가속도는 [math(0)]이 나오는데 이것은 진자의 운동을 진동면에 투영했고, 진동면 기준에서 최하점에선 받는 힘(정확히 말하면, '복원력')이 없기 때문에 이런 결과가 나온 것이다. === 일반적인 풀이 === 맨위에서 구했던 것은 진동 각도가 작을 때 즉, 작은 진폭을 가질 때만 유효한 풀이이다. 여기서 부터는 정확한 풀이를 다룬다. 처음에 구했던 미분 방정식은 비선형 항이 있어서 풀기가 매우 힘들다. 따라서 역학적 에너지 보존을 이용하자. 진자의 최하점을 높이 [math(y=0)]으로 놓고, 최고 높이 즉, 초기 높이를 [math(y_{0})]라 놓으면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{1}{2}ml^{2} \dot{\theta}^{2}+mgy=mgy_{0})] }}} [math(y)]는 각도로 표현될 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{1}{2}ml^{2} \dot{\theta}^{2}+mgl(1-\cos{\theta})=mgl(1-\cos{\theta_{0}}))] }}} 이것을 다시쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \dot{\theta}^{2}=2\omega_{0}^{2} \left [ \cos{\theta} -\cos{\theta_{0}} \right])] }}} 이때, 반각의 공식을 쓰고, 각도가 증가하는 경우에 대해 [math(\dot{\theta})]에 대해 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \dot{\theta}= 2\omega_{0} \left [ \sin^{2}{\frac{\theta_{0}}{2}} -\sin^{2}{\frac{\theta}{2}} \right ]^{1/2})] }}} 따라서 적분을 하면 운동하는 데 걸린 시간을 얻을 수 있다. 그런데 이 운동은 대칭적이므로 최하점([math(\theta=0)])으로 부터 최고점([math(\theta=\theta_{0})])까지 이동하는 건 [math(1/4)]주기에 해당한다. 따라서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \int_{0}^{T/4}\, dt =\frac{T}{4}=\frac{1}{2 \omega_{0}} \int_{0}^{\theta_{0}} \left [ \sin^{2}{\frac{\theta_{0}}{2}} -\sin^{2}{\frac{\theta'}{2}} \right ]^{-1/2} \, d\theta ')] }}} 이상에서 평면 진자의 주기는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle T=\frac{2}{ \omega_{0}} \int_{0}^{\theta_{0}} \left [ \sin^{2}{\frac{\theta_{0}}{2}} -\sin^{2}{\frac{\theta'}{2}} \right ]^{-1/2} \, d\theta ')] }}} 이때, 다음의 변수 치환 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \sin{(\theta_{0}/2)}=k \qquad \qquad \frac{\sin{(\theta'/2)}}{\sin{(\theta_{0}/2)}}=z)] }}} 을 이용하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle dz=\frac{\cos{(\theta'/2)}}{2\sin(\theta_{0}/2)} \,d\theta'=\frac{\sqrt{1-k^{2}z^{2} } }{2k}\,d\theta')] }}} 이므로 적분은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle T=4 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt {1-z^2} \sqrt{1-k^2z^2}} \, dz)] }}} 가 된다. 적분 항은 명백한 [[타원/타원 적분|완전 제1종 타원 적분]]이므로, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle T=4 \sqrt{\frac{l}{g}}K(k))] }}} 로 나타낼 수도 있다. 이때, 식을 다시 쓰면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \left[ \frac{2}{\pi} K(k) \right])] }}} 이고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{2}{\pi} K(k) =\sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}} \right ]^{2}k^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty }\left [ \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}} \right ]^{2} \sin^{2n}{\left(\frac{\theta_{0}}{2} \right)})] }}} 으로 전개할 수 있으므로 주기는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \left[1+ \sum_{n=1}^{\infty }\left [ \frac{(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}} \right ]^{2}\sin^{2n}{\left(\frac{\theta_{0}}{2} \right)} \right ])] }}} 로 전개할 수 있다. 위 식에서 [math(\theta_{0} \,\rightarrow \,0)]의 극한을 취하면, 처음에서 구했던 근사적인 주기로 수렴하는 것을 쉽게 알 수 있다. 또한, [math(\theta_{0} \,\rightarrow \,\pi)]일 때 주기는 무한대가 된다.[* [math(\displaystyle \lim_{k \to 1} K(k)=\infty)]] 위식이 진동형태가 되는 것은 [math(0 [math(\boldsymbol{\theta}_{\mathbf{0}}\,(\boldsymbol{{}\degree}))] || '''실제 주기''' || '''[math(\boldsymbol{\theta}_{\mathbf{0}}\,(\boldsymbol{{}\degree}))]''' || '''실제 주기''' || || '''5''' || +0.048% || '''75''' || +11.89% || || '''10''' || +0.19% || '''90''' || +18.03% || || '''15''' || +0.43% || '''120''' || +37.29% || || '''20''' || +0.77% || '''150''' || +76.22% || || '''30''' || +1.74% || '''175''' || +187.8% || || '''45''' || +4.00% || '''179''' || +360.0% || || '''60''' || +7.32% || '''180''' || [math( \infty)] || 정밀한 주기가 필요 없다면, 대략 [math(0<\theta_{0}<20\degree)] 범위에서 오차율을 [math(1\, \%)] 이내로 줄일 수 있다. 따라서 해당 범위에선 근사 해도 별 무리 없이 쓸 수 있다. 마지막으로, [math(\theta(t))]를 구해보고자 한다. 위의 결과를 활용하면, [math(\theta)]까지 도달하는 데 걸린 시간 [math(t)]는 다음과 같이 구할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle t =\frac{1}{2 \omega_{0}} \int_{0}^{\theta} \left [ \sin^{2}{\frac{\theta_{0}}{2}} -\sin^{2}{\frac{\theta'}{2}} \right ]^{-1/2} \, d\theta ')] }}} 위에서 했던 변수 치환을 이용하면, 아래와 같이 적분을 바꿀 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \omega_{0} t = \int_{0}^{x} \frac{1}{\sqrt {1-z^2} \sqrt{1-k^2z^2}} \, dz)] }}} 이때, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle x \equiv \frac{\sin{(\theta/2)}}{k})] }}} 이다. 그런데, [[타원 적분#s-2.2|야코비 타원함수]]를 도입하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle x= \mathrm{sn}\,(\omega_{0} t ; k))] }}} 로 쓸 수 있어, 결국 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \theta(t)=2 \sin^{-1}{[k \, \mathrm{sn}\,(\omega_{0} t ; k) ]} )] }}} 그런데, 실제로는 위상차가 존재할 수 있으므로 [math(t_{0})]의 시간 위상차를 도입하자. 그러면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \theta(t)=2 \sin^{-1}{\left[ \sin{\left(\frac{\theta_{0}}{2} \right)} \, \mathrm{sn}\,\left[\omega_{0} (t-t_{0}) ; \sin{\left(\frac{\theta_{0}}{2} \right)}\right] \right]})] }}} 임을 알 수 있다. 다음은 [math( \theta(0)=17 \pi/18 \equiv \theta_{0})], [math( \dot{\theta}(0)=0)]인 경우에 대해, [math(\theta(t))]를 근사법을 이용했을 때, 나오는 [math(\theta_{a}(t))]와 일반적인 방법으로 했을 때의 [math(\theta_{g}(t))]를 나타낸 것이다. [[파일:나무_평면진자_각변위_그래프.png|width=300&align=center]] [math(T_{a})], [math(T_{g})]는 각 경우에 대한 운동의 주기이다. ==== 연직면 상의 원운동 ==== 이제 진자의 역학적 에너지가 좀 더 커져서 최고점인 [math(\theta_{0}=\pi)]에 이르고도, 운동 에너지가 모두 퍼텐셜 에너지로 전환되지 않는 경우를 다루고자 한다. 위 경우에서 역학적 에너지 보존을 이용해서 다음과 같이 운동 방정식을 쓸 수 있었다.(우변은 최고점에서의 역학적 에너지이다.) {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{1}{2}ml^{2} \dot{\theta}^{2}+mgl(1-\cos{\theta})=mgl(1-\cos{\pi}))] }}} 다만, 최고점에 이르고도 속력이 존재하는 경우를 다루기 때문에 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \frac{1}{2}ml^{2} \dot{\theta}^{2}+mgl(1-\cos{\theta})=mgl(1-\cos{\pi})+\frac{1}{2}ml^{2} \dot{\theta}'^{2})] }}} 으로 운동 에너지와 관련된 항을 추가적으로 써줘야 한다. [math(\dot{\theta}')]는 최고점에서의 각속도이다. 이것을 정리하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \begin{aligned} \dot{\theta}^{2}&=4\omega_{0}^{2}-4\omega_{0}^{2} \sin^{2}{\frac{\theta}{2}}+ \dot{\theta}'^{2} \\ &=4\omega_{0}^{2} \left[ \left( 1+\frac{\dot{\theta}_{0}^{2}}{4\omega_{0}^{2}} \right)-\sin^{2}{\frac{\theta}{2}} \right] \end{aligned})] }}} 로 쓸 수 있고, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle k'^{-2} \equiv 1+\frac{\dot{\theta}_{0}^{2}}{4\omega_{0}^{2}} )] }}} 라 놓자. 이때, 위 조건에 따르면 [math(0 2mgl)]인 영역이다. 우선, [math(E<2mgl)] 부분 먼저 논의해보자. 초기 각도가 매우 작다면, 진자는 매우 작은 진폭으로 운동할 것이다. 따라서 [math(\sin{\theta} \approx \theta )]가 된다. 따라서 이때의 개형은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math( \displaystyle \dot{\theta}=\pm 2 \sqrt{\frac{g}{l}} \left [ \frac{E}{2mgl} -\theta^{2} \right ]^{1/2})] }}} 이고, 이것은 쉽게 타원이 됨을 알 수 있다.[* 양변을 제곱하여, 적절히 처리하면 타원을 나타내는 곡선임을 알 수 있다.] 따라서 작은 진폭 영역에서는 진동함을 쉽게 알 수 있다. 그러나 각이 커짐에 따라 타원의 개형에서 조금 벗어나긴 하지만, 개형은 폐곡선 형태이다. 따라서 [math(E<2mgl)] 영역에서 진자는 진동함을 알 수 있다. 점 A는 진자가 초기에 아무런 각을 갖지 않았을 때를 나타내며, 진자의 평형점을 나타낸다. 다음으로는 [math(E=2mgl)] 즉, [math(\theta_{0}=\pi)]일 때이다. 이 조건에서 개형을 따라 진자가 운동하지 않는 것은 위에서 보았듯, 주기가 무한대인 것에서 쉽게 예측할 수 있고, 그렇지 않더라도, 질량이 거의 없는 강체 막대로 연결되어 있을 경우, 진자는 움직이지 않고 있을 수 있다.[* 가끔 균형을 잘 맞추는 사람들이 막대 위에 큰 질량을 올리고도 가만히 버티고 있게 하는 것을 생각해보아라.] 이때 진자를 움직이게 하려면, 힘이 가해져야 하고, 이 힘은 곧 진자 계의 에너지를 변화시킨다. 따라서 진자는 굵은 선을 따라 운동할 수 없다. 따라서 [math(\theta_{0}=\pi)]일 때 진자의 운동은 점 B로 표현되나, 작은 힘에도 진자가 운동할 수 있게 만들기 때문에 불안정한 평형점이다. 또한, 처럼 실제로 궤도를 따라 계는 운동하지 않으나, 이 궤도를 중심으로 운동 양상이 달라지는 궤도를 '''분리 궤도'''라 한다. [math(E>2mgl)]인 영역에서는 진자가 최고점에 도달하더라도, 운동 에너지가 존재하기 때문에 주기가 없는 연직 원운동을 하게 된다. 따라서 이 영역에서 위상도는 폐곡선 형태를 띄지 않는다. == 기타 == === [[베셀 함수#s-5.1.2|줄의 길이가 변하는 진자]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=베셀 함수, 문단=5.1.2)] === [[푸코의 진자]] === [include(틀:상세 내용, 문서명=푸코의 진자)] === 이중 진자 === 그림과 같이 단진자에 하나의 진자를 더 연결해놓은 형태의 진자를 '''이중 진자(Double pendulum)라 한다.''' [[파일:나무_이중진자_수정.png|width=210&align=center]] [math(m_{\textrm{1}})]이 매달려 있는 점을 원점으로 두면, [math(m_{\textrm{1}})]의 위치를 좌표로 표현할 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle (x_{1},\,y_{1})=(l_{1}\sin{\theta_{1}},\,-l_{1}\cos{\theta_{1}}) )] }}} 마찬가지 방법으로,[math(m_{\textrm{2}})]의 위치를 좌표로 표현하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle (x_{2},\,y_{2})=(l_{1}\sin{\theta_{1}}+l_{2}\cos{\theta_{2}},\,-[l_{1}\cos{\theta_{1}}+l_{2}\cos{\theta_{2}}]) )] }}} 따라서 계의 운동 에너지는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} T&=\frac{1}{2}m_{1}(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{y}_{1}^{2})+\frac{1}{2}m_{2}(\dot{x}_{2}^{2}+\dot{y}_{2}^{2}) \\ &=\frac{1}{2}m_{1}(l_{1} \dot{\theta}_{1})^{2}+\frac{1}{2}m_{2}[(l_{1}\dot{\theta}_{1})^{2}+(l_{2} \dot{\theta}_{2})^{2}+2l_{1}l_{2}\dot{\theta}_{1}\dot{\theta}_{2}\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}] \end{aligned} )] }}} 계의 퍼텐셜 에너지는 {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} U&=m_{1}gy_{1}+m_{2}gy_{2} \\ &=-[m_{1}gl_{1}\cos{\theta_{1}}+m_{2}g(l_{1}\cos{\theta_{1}}+l_{2}\cos{\theta_{2}}) ] \end{aligned} )] }}} 가 된다. 이때, [[라그랑지안]] [math(\mathscr{L} \equiv T-U)]로 정의되고, 일반화좌표 [math(\theta_{i})]에 대한 운동 방정식은 아래의 [[오일러 방정식]]을 풀면 된다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \theta_{i}}-\frac{d }{dt}\left (\frac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{\theta_{i} } } \right )=0 )] }}} 따라서 각 좌표에 대한 운동 방정식을 구하면, {{{#!wiki style="text-align: center" [br] [math(\displaystyle \begin{aligned} \theta_{1}&:\,(m_{1}+m_{2})l_{1}\ddot{\theta}_{1}+m_{2}l_{2}\ddot{\theta}_{2}\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}+m_{2}l_{2}\dot{\theta}_{2}^{2}\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}+(m_{1}+m_{2})g\sin{\theta_{1}}=0 \\ \theta_{2}&:\,m_{2}l_{2}\ddot{\theta}_{2}+m_{2}l_{1}\ddot{\theta_{1}}\cos{(\theta_{1}-\theta_{2})}-m_{2}l_{1}\dot{\theta}_{1}^{2}\sin{(\theta_{1}-\theta_{2})}+m_{2}g\sin{\theta_{2}}=0 \end{aligned})] }}} 같은 식의 미분 [[연립방정식]]이 나온다. 기존 단진자에서 진자를 하나 더 건 경우인데, 단진자와 비교하면 분석하기 '''매우 어렵다.''' 위의 미분방정식은 컴퓨터가 아닌 이상 매우 풀기 어렵다. 아래는 이중 진자를 컴퓨터로 시뮬레이션 한 영상이다. 역시 복잡하게 나온 미분 방정식답게 매우 복잡하게 운동함을 알 수 있다. ||
{{{#!wiki style="margin: -5px -10px" [youtube(QXf95_EKS6E)]}}} || 이 이중 진자는 [[혼돈]]이 일어나는 대표적인 예이다. 즉, 초기조건에 민감하게 반응하며, 운동 경로는 예측하기 어렵다. 이것은 직접 확인해보는 것이 무슨 말인지 이해하기 쉽다. [[https://www.compadre.org/osp/items/detail.cfm?ID=9384|여기]]서 이중 진자를 시물레이션 할 수 있는 툴을 다운로드 받을 수 있으며, 다양한 초기 조건[* 두 물체의 초기 위치를 말한다.]을 주고, 이중 진자가 어떻게 운동하는 지 지켜보면, 초기조건에 따라 다르다는 사실을 확인할 수 있다. 각도-각속도 간 위상도를 그릴 경우 상당히 기괴한 모습의 [[프랙털]]이 나타난다. ([[https://www.google.com/search?q=double+pendulum+poincare+map&prmd=ivmxn&sxsrf=AOaemvJO8hh5Blr-_8Wjju5N5-X3vJdGhg:1634823380560&source=lnms&tbm=isch&sa=X&ved=2ahUKEwiekfnWz9vzAhUIzIsBHf_DBgYQ_AUoAXoECAIQAQ&biw=412&bih=718&dpr=2.63|이중진자 위상도 삽화]]) 이중 진자의 미소 진동에 대해 다룬 것은 [[연성 진동]] 문서를 참조한다. === 하위헌스의 진자시계 === [[파일:사이클로이드 진자.png|width=185&align=center]] 그림에서 진자의 끝은 [[사이클로이드]] 모양으로 궤적을 그리며, 위쪽 부분의 받쳐주는 호도 역시 사이클로이드 모양이다. 이러한 호를 따라가는 진자는 진폭에 관계없이 주기가 정확히 일정하기 때문에 좀 더 정확한 진자시계를 만들 수 있다. 아래의 문서에서 더 자세한 정보를 얻을 수 있다: [[사이클로이드/물리학적 문제#s-2.2.1]] === 초진자 === 일초진자(一秒振子) 또는 초진자는 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝까지 흔들리는 데 정확히 1초가 걸리는 진자운동이다. 진동의 중심점과 진자 지점의 중심점 사이의 거리를 [math(0.99353\,{\rm m})]로 구현한 진자 장치이다. 따라서 한 회 주기는 2초가 된다. 이러한 초단위 진자로 구현되는 괘종시계와 같은 시계는 정확도를 보장할수있게 된다. [include(틀:상세 내용, 문서명=사이클로이드/물리학적 문제, 문단=2.2.1)] == 참고 거리 == * 진폭이 작은 상황에 한하여, 진자의 주기는 추의 질량이나 진폭에는 의존하지 않고 오로지 실의 길이에만 상관이 있음을 알 수 있다. 이를 이용하여 시계추의 주기를 추의 늘어진 거리를 조절함으로써 설정할 수 있다. * 단진자 운동은 진자 팔의 길이의 제곱근에 비례하는 거의 일정한 주기를 가지므로 최초의 근대적 시계나 괘종시계 등에 쓰였다. 통상 길이가 [math(\mathrm{25\,cm})] 정도면 주기가 1초, [math(\mathrm{1\,m})] 가량이면 2초 정도이다.[* 미터법 초기에는 아예 이걸 미터의 정의로 삼으려는 시도도 있었으나 당시의 기술로도 중력가속도가 상수가 아님은 명백하게 측정 가능했고 길이를 재기위해 시간을 측정한다는 아이디어가 반발을 사서 자오선 기준에 밀렸다.] 진자의 팔 길이만 일정하고 진폭이 크지 않으면, 주기는 추의 무게에 상관없이 상당히 높은 시간 안정성을 가지므로 [[쿼츠 시계|쿼츠(수정발진자)]]가 보편화되기전에는 가정의 [[괘종시계]]는 주로 진자를 이용하였다. 괘종시계의 진자의 팔은 온도 팽창 계수가 매우 낮은 Invar라는 니켈합금으로 만들어 온도의 영향을 최소화 한다. 그래도 통상 한달에 몇 분 정도는 오차가 있어서 한달에 한 번 정도는 시간을 맞춰 줘야 했다 * 진자의 추가에 따라 계산 난이도가 급증한다. 단진자일 때는 할만하고, 이중 진자일 때는 매우 복잡해지며, 삼중 진자에 이르러서는 계산이 거의 불가능해진다. == 관련 문서 == * [[물리학 관련 정보]] * [[고전역학]] [include(틀:문서 가져옴, title=진자, version=60)] [[분류:물리학]]