[include(틀:평면기하학)]

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|| [[파일:attachment/오각형/ogak.jpg|width=200]] ||
|| 오각형 ||

== 개요 ==
[[펜타곤|Pentagon]]. 5개의 선분으로 둘러싸여 있고 꼭짓점도 5개이다.  순우리말은 다섯모.

내각의 총합은 540º이고 외각은 360º이다. 정오각형의 한각은 540도에서 5를 나눈 108도의 값이 나온다.

[[마법진]] 등에서 흔히 나타나는 오망성은 이 도형의 대각선으로 이루어졌다. 

지구에서 관측하는 금성의 궤도는 이 오각형과 관련이 있다. 자세한 내용은 [[금성]] 문서 참조.

생화학이나 약리학에서 거의 제일 흔하게 볼 수 있는 도형이다. 해당과정 TCA회로부터 펜토라민이나 펜토바비탈 등이다.

미국의 국방부인 [[미합중국 국방부 청사|펜타곤]]이 바로 뜻그대로 오각형이며 (오각형이 그냥 영어로 펜타곤이니까) 지금은 철거된 2018 년 평창동계올림픽 개폐회식이 열린 [[평창 올림픽 스타디움]] 또한 역시 똑같은 오각형 모양이다. 

[[분자]] 구조가 오각형인 경우가 있는데 공통적으로 열에 매우 약하다. [[비타민C]], [[과당]]이 대표적이다.

흔히 게임이나 스포츠 등에서, 캐릭터 또는 선수의 성능/역량이 전반적으로 뛰어날 경우 '오각형이다' 또는 '오각형에 가깝다'라고 표현한다. [* [[5]]라는 숫자가 가지는 적절함과 안정성에 기인하여, 일반적으로 [[RPG]] 게임 등에서는 캐릭터의 능력을 다섯 가지로 표현한다. 이를 도식화하면 자연스레 그래프가 오각형의 모양이 되는데, 5가지 능력이 모두 균등하게 뛰어나면 깔끔한 정오각형의 그래프가 나온다. 여기에 유래하여 다방면으로 뛰어나다는 의미로 오각형에 빗대는 것.][* 유사한 어휘로 야구계에 파이브 툴 플레이어라는 말을 쓴다. 타격의 정확성과 힘, 수비/주루/송구능력 등 5가지 능력에서 모두 출중한 선수를 말하며, 대표적으로 [[마이크 트라웃]]이 있다. 이 능력치를 기준으로 마이크 트라웃과도 같은 파이브 툴 플레이어를 나타내면 완전히 그래프를 가득채운 오각형이 나오는 셈이다.]

== 정오각형 ==
모든 내각의 크기와 모든 변의 길이가 같은 오각형. 내각의 총합이 540º이므로 한 각의 크기는 108º이다.
겉길이는 [math(\left(5\right)a)]이며 한 변과 한 대각선의 길이의 비는 황금비 [math(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right))]이고, 면적은 [math(\left(\dfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}\right)a^2)]이며 외접원의 반지름은 [math(\left(\dfrac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{10}\right)a)]이며 내접원의 반지름은 [math(\left(\dfrac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{10}\right)a)]다.

=== 정오각형의 [[작도]] ===
||[[파일:external/upload.wikimedia.org/714px-Pentagon-construction.svg.png|width=100%]]||

1.(초록색) 점 O를 중심으로 하는 원을 그린다.
2.원 O 위의 점 A를 골라 직선 OA를 그린다.
3.점 O를 지나면서 직선 OA와 수직인 직선을 그린다. 이 직선이 원 O와 만나는 곳을 점 B라고 한다.
4.점 O와 점 B의 가운데에 있는 점 C를 그린다.
5.(빨간색) 점 C를 중심으로 하면서 점 A를 지나가는 원을 그린다. 원 C가 직선 OB와 만나는 곳을 점 D라고 한다. (이 때 원 C가 직선 OB와 만나는 점은 두 개가 있다. 이 중 원 O 안에 있는 점)
6.(파란색) 점 A를 중심으로 하면서 점 D를 지나가는 원을 그린다. 원 A가 원 O와 만나는 두 점을 각각 점 E와 점 F라고 한다.
7.점 E를 중심으로 하면서 점 A를 지나가는 원을 그린다. 원 E가 원 O와 만나는 곳을 점 G라고 한다.
8.점 F를 중심으로 하면서 점 A를 지나가는 원을 그린다. 원 F가 원 O와 만나는 곳을 점 H라고 한다.
9.(검정색) 오각형 AEGHF를 그린다.

작도는 아니지만 일상에서 정오각형을 만들 수 있는 방법으로는 일정한 폭의 띠를 매듭 묶듯이 접으면 정오각형이 매듭으로 접어진다. 여기에 삼각형을 더하면 정십오각형도 작도 가능해진다.

=== n차원에서의 오각형을 이용한 도형들 ===
한편 오각형을 n차원으로 확장시키면[* 꼭지점을 중심으로 확장시킨 도형으로는 [[정이십면체]], [[정육백포체]] 가 있다.] 이 도형을 사용하여 만들어진 유일한 정다면체로 [[정십이면체]]가 있다. 정십이면체를 사용하여 만든 진화형(?)으로 [[정백이십포체]]가 있다. 5차원 이상으로는 오각형을 이용한 그 진화형(?)이 사라진다. 그 이유는 [math(\left(2+\sqrt{5}\right))]~4.23607차원에서 오각형 계열이 정규 벌집이 되기 때문이다. 오각입방체 한정으로 [math(\left(3+\sqrt{5}\right))]~5.23607차원에선 이포각이 ±∞로 발산하는 파라콤팩트가 되며 [math(\left(4+\sqrt{5}\right))]~6.23607차원에선 이포각이 0º로 다시 측정이 가능하며 차원이 올라갈수록 90º에 점점 가까워진다. 오각입방체는 5차원, 6차원에서만 각도 측정이 불가능하다. 반면 오각정축체는 차원이 올라갈수록 이포각이 [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\right))]~-1.61803에 가까워져서 5차원 이상의 모든 차원에서 각도 측정이 불가능하다. [[황금비]]의 -1배와 같다.[* 자연로그의 밑의 1/2, 원주율 파이의 1/2, 타우의 1/4보다도 절대값이 크다. 심지어 [math(\left(\dfrac{6+2\sqrt{3}}{3}\right))]~3.1547007이라는 값보다도 매우 근소한 차이로 원주율 파이가 더 작다.]

|| 허니콤 || {5,3,...,3} || {3,5,3,...,3} || {3,3,5,3,...,3} || {3,3,3,5,3,...,3} ||
||<|2> 이포각 -1 || ~4.23607차원 || ~3.34164차원 || ~4.03786차원 || ~4.91372차원 ||
|| [math(\cos^{-1}\left(2+\sqrt{5}\right))] || [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{10+3\sqrt{5}}{5}\right))] || [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{31+6\sqrt{5}}{11}\right))] || [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{71+10\sqrt{5}}{19}\right))] ||
|| 이포각 ±∞ || ~5.23607차원 || ~4.34164차원 || ~5.03786차원 || ~5.91372차원 ||
|| 이포각 1 || ~6.23607차원 || ~5.34164차원 || ~6.03786차원 || ~6.91372차원 ||

|| 허니콤 || {3,...,3,5} || {3,...,3,5,3} || {3,...,3,5,3,3} || {3,...,3,5,3,3,3} ||
|| 이포각 -1 || ~4.23607차원 || ~3.34164차원 || ~4.03786차원 || ~4.91372차원 ||
|| 이포각 ±∞ || x || ~5.23607차원 || ~4.34164차원 || ~5.03786차원 ||
|| 이포각 1 || x || x || ~6.23607차원 || ~5.34164차원 ||
||<|3> 이포각 임계점 || ~-1.61803 || ~2.61803 || ~0.72361 || ~0.41982 ||
|| [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\right))] || [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right))] || [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{5+\sqrt{5}}{10}\right))] || [math(\cos^{-1}\left(\dfrac{7+\sqrt{5}}{22}\right))] ||
|| ~180-60.80658i° || ~92.64279i° || ~43.64693° || ~65.17670° ||

또한 이는 한 (n-3)차원 도형에 오각정축체 3개가 모이는 {3,5,3,...,3,3}, {3,...,3,5,3}은 [math(\left(\dfrac{10+3\sqrt{5}}{5}\right))]~3.34164 차원에서 정규 벌집이 되며 {3,...,3,5,3}은 [math(\left(\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right))]~2.61803에서 이포각이 멈춘다. {3,3,5,3,...,3}, {3,...,3,5,3,3}은 [math(\left(\dfrac{31+6\sqrt{5}}{11}\right))]~4.03786 차원에서 정규 벌집이 되며 {3,...,3,5,3,3}은  ~0.72361~43.64693°에서 이포각이 멈춘다. 그 이후로 {3,3,3,5,3,...,3}부터는 쌍곡이 들어있어 이포각 측정이 불가능해도 어느 차원에서 벌집이 되는지 구할 수 있다.

이와 비슷하게 육각형 계열도 3차원에서는 정규 벌집[* 타일링과 벌집은 n차원 평면이나 입체, 초입체를 덮는 현상으로서 같은 현상을 뜻한다. 단지 2차원에서는 타일링, 3차원 이상에서는 벌집이란 용어를 많이 써서 그렇다. 육각형 계열은 자기쌍대인 2차원에서 이포각이 120°가 되므로 {6,3,...,3}, {3,...,3,6}, {3,6,3,...,3,3}, {3,3,...,3,6,3} 계열 모두 3차원에서 유클리드 벌집이 된다.]이 되어서 4차원 이상에서는 육각형 계열 역시 사라지고[* 다만 5차원부터 육각입방체 한정으로 이포각 측정이 다시 가능하다. 육각정축체는 4차원 이상에선 여전히 cos<-1이라 불가능.], n이 7 이상의 자연수일 때[* 실수 범위로 확장시켜서 따지면 n>6], n각형 계열의 다포체가 3차원에서도 쌍곡이 되어 역시 사라진다는 것과 비슷하다. 무한각형 및 허수각형의 경우는 3차원에서 파라콤팩트, 논콤팩트가 되므로 4차원부터 다시 이포각 측정이 가능하다. 일반적으로 n각형 계열이 m차원에서 정규 벌집이 되면 m+1차원에서는 n각형 계열이 파라콤팩트가 되고, m+2 차원에서부터는 논콤팩트가 되며, 실수 범위로 따지자면 m+2<p일 때, p차원보다 높은 차원에서는 m-1차원 도형 또는 꼭짓점도 논콤팩트가 되어서 입방체를 계승한 {n,3,3,...,3,3} 계열 한정으로 p>m+2일 때, p차원에서 이포각을 다시 측정이 가능하게 되는 것이다. 그리고 n차원의 단체의 한 이포각의 크기가 360/k°가 된다면 n+1차원에서는 k각형 계열이 타일링이 된다. 모든 (n-1)차원 입체(facet)가 (n-3)차원 peak에 3개가 모일 때 이포각이 [math(\dfrac{\cos}{\cos+1})]=[math(\dfrac{1}{\dfrac{1}{\cos}+1})]가 되어서 그렇다. 오각형과 육각형, 칠각형,... 등 둔각인 다각형은 내각의 cos값이 음수다 보니 분모서 1을 계속 더하면 분모가 언젠간 -1,0,1을 넘어서서 이런 현상이 나타나는 것이며.
== 정오각형을 확장시킨 도형들의 면적 ==
=== 정십각형 ===
모양: [[https://commons.m.wikimedia.org/wiki/File:Regular_decagon.svg#mw-jump-to-license]]
겉길이:[math(\left(10\right)a)]
면적:[math(\left(\dfrac{5\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}\right)a^2)]
외접원의 반지름:[math(\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right)a)]
내접원의 반지름:[math(\left(\dfrac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}\right)a)]

=== 정십오각형 ===
모양: [[https://commons.m.wikimedia.org/wiki/File:Regular_pentadecagon.svg#mw-jump-to-license]]
겉길이:[math(\left(15\right)a)]

[[분류:다각형]]