이곳은 개발을 위한 베타 사이트 입니다.기여내역은 언제든 초기화될 수 있으며, 예기치 못한 오류가 발생할 수 있습니다. 문서 보기문서 편집수정 내역 스넬의 법칙 (덤프버전으로 되돌리기) [include(틀:고전역학)] [include(틀:전자기학)] [목차] == 개요 == {{{+1 Snell's law}}} [[빛]]을 비롯한 [[파동]]은 지나고 있는 매질의 성질에 따라서 다른 진행 속도를 가지게 되는데, 이때 매질에 따른 속도의 차이에 의해 진행 방향이 꺾이는 [[굴절]] 현상이 일어난다. 스넬의 법칙은 이때 일어나는 파동의 굴절 현상을 정량적으로 정리하여 설명하는 법칙이다. [[네덜란드]]의 수학자 겸 천문학자인 [[https://en.m.wikipedia.org/wiki/Willebrord_Snellius|빌러브로어트 스널 판로연(Willebrord Snel van Royen)]][* 빌러브로어트 스넬리우스(Willebrord Snellius)라고도 불린다.]이 발견했다. == 수식 == [[파일:namu_스넬의 법칙_개요.png|width=220&align=center]] 빛[* 빛이라고만 했지만 모든 파동에 대해서 유효하다.]이 굴절률 [math(n_{1})]인 매질 I에 입사각 [math(\theta_{1})]으로 입사했다고 가정하자. 이때, 빛은 두 매질의 경계면에서 반사되는 빛과 굴절률 [math(n_{2})]인 매질 II에 투과되어 굴절되는 빛이 생기며, 반사의 법칙에 따라 반사광의 반사각은 입사각 [math(\theta_{1})]과 같고, 굴절광의 굴절각은 입사각과 다음의 관계에 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle n_{1}\sin{\theta_{1}}=n_{2}\sin{\theta_{2}} )]}}} 따라서 매질 I에 대한 매질 II의 상대 굴절률 [math(n_{12})]은 다음과 같이 나타낼 수 있다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle n_{12} \equiv \frac{n_{2}}{n_{1}}=\frac{\sin{\theta_{1} }}{\sin{\theta_{2}} }=\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}} )]}}} 여기서 [math(v_{i})]는 매질 [math(i)]에서의 빛의 속도, [math(\lambda_{i})]는 매질 [math(i)]에서의 빛의 파장이다. 여러 매질이 있을 경우 다음이 성립한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math( \displaystyle n_{i}\sin{\theta_{i}}=\textsf{const.} )]}}} == 유도 == === [[전자기파]]의 특성에서의 유도 === [[전자기파/전자기학의 경계치 문제|전자기학의 경계치 문제]] 문서를 통해 매질에 경사 입사된 전자기파의 매질면의 파동이 연속적이라는 조건을 통해 스넬의 법칙을 얻어내었다. 해당 문서를 참조한다. === [[페르마의 원리]]를 통한 유도 === [[파일:namu_스넬의 법칙_페르마 원리.png|width=280&align=center]] 편의상 [math(xy)]평면 상에서 빛이 진행한다고 가정하자. [math(y>0)]인 구역의 굴절률을 [math(n_{1})], [math(y<0)]인 구역의 굴절률을 [math(n_{2})]라 하자. 여기서 [math({\rm P}(x_{1},\,d))]에서 [math({\rm{Q}}( x_{2},\,-d))]로 빛이 이동했다고 하자. 이때, [math(\rm P)]는 [math(y>0)]인 영역에, [math(\rm Q)]는 [math(y<0)]인 영역에 존재한다. 여기서 지나간 경계면의 [math({\rm B}(x,\,0))]을 지났다고 가정하자. 이때, 걸리는 시간은 굴절률 [math(n=c/v)]로 정의되는 점에 유의하면 시간은 지나간 거리를 속력으로 나누면 되므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle t=\frac{n_{1}\sqrt{(x-x_{1})^2+d^{2}} }{c}+\frac{n_{2}\sqrt{(x_{2}-x)^2+d^{2}} }{c} )]}}} 페르마의 원리에 따르면 이 값이 최솟값을 가져야 하므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}=0 )]}}} 가 성립해야 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{{\rm d}t}{{\rm d}x}=\frac{n_{1}}{c}\frac{x_{1}-x}{\sqrt{(x-x_{1})^2+d^{2}} }-\frac{n_{2}}{c}\frac{x_{2}-x}{\sqrt{(x_{2}-x)^2+d^{2}} }=0 )]}}} 이므로 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} n_{1} \cdot \frac{x_{1}-x}{\sqrt{(x_{1}-x)^2+d^{2}} }&= n_{2} \cdot \frac{x_{2}-x}{\sqrt{(x_{2}-x)^2+d^{2}} } \\ \\ \therefore n_{1}\sin{\theta_{1}}&=n_{2}\sin{\theta_{2}} \end{aligned} )]}}} 이다. 이것은 위 그림의 그래프에서 간단한 삼각비를 적용하면 얻는다. === [[변분법]]을 통한 유도 === [[파일:namu_스넬법칙_변분법.png |width=270&align=center]] 이번에도 [math(xy)]평면에서 빛이 이동한다고 가정할 것이다. 이때, 빛의 궤적이 어떠한 함수 [math(y(x))]의 그래프를 따라간다고 가정하면, 미소 거리 [math({\rm d}s)]를 지날 때 걸리는 미소 시간은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle {\rm d}t=\frac{n(x)\,{\rm d}s}{c} )]}}} [math(n(x))]는 [math(x)]에서의 굴절률이다. 따라서 점 [math({\rm P}(x_{1},\,y_{1}) \to {\rm Q}(x_{2},\,y_{2}))]로 빛이 이동했다고 가정하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle t=\frac{1}{c}\int_{x_{1}}^{x_{2}} n(x)\sqrt{1+y'^{2} }\,{\rm d}x )]}}} 따라서 [math(t)]는 범함수가 되며, 이것이 최소화되려면 [[오일러 방정식]] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\partial J}{\partial y}-\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\frac{\partial J}{\partial y'}=0 \qquad (J\equiv n(x)\sqrt{1+y'^{2} }))]}}} 을 만족해야 한다. 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x} \biggl[n(x) \cdot \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} \biggr] &=0 \end{aligned})]}}} 를 얻으므로 결국 각괄호 안은 상수가 돼야 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle n(x) \cdot \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=\textsf{const.} )]}}} 이때, [math(n(x) \geq 0)]이고, 위 식에 절댓값을 씌워 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle n(x) \cdot\biggl| \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} \biggr|=\textsf{const.} )]}}} 임을 얻는다. 그런데 위 그래프의 점 [math(\rm R)]을 보면 결국 [math(y')]은 해당 점에서의 접선의 기울기와 같고, 그 값은 점 [math(\rm{R})]에 [math(x)]축과 평행한 선을 그었을 때, 접선과 해당 선이 이루는 예각의 크기를 [math(\theta)]라 하면 [math(\tan{(\pi-\theta)}=-\tan{\theta})]이고, [math(|y'|=\tan{\theta})]이다. 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \biggl| \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} \biggr|&= \frac{|y'|}{\sqrt{1+|y'|^2}} \\&= \frac{\tan{\theta}}{\sqrt{1+\tan^2{\theta} }} \\ &= \frac{\tan{\theta}}{\sec{\theta}} \\&=\sin{\theta} \end{aligned} )]}}} 따라서 다음의 스넬의 법칙을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} n(x)\sin{\theta}=\textsf{const.} \end{aligned} )]}}} == 임계각 == [math(n_{1}캡챠되돌리기