이곳은 개발을 위한 베타 사이트 입니다.기여내역은 언제든 초기화될 수 있으며, 예기치 못한 오류가 발생할 수 있습니다. 문서 보기문서 편집수정 내역 아이젠슈타인 정수 (덤프버전으로 되돌리기) [[분류:수학 용어]] [목차] == 개요 == {{{+1 Eisenstein-Zahl / Eisenstein [[整]][[數]]}}} [[가우스 정수]]와 비슷하며, 두 정수 a, b 에 대해서 [math( a + b\omega )] 로 표현되는 수이다. 여기서 [math(\omega)] 는 [[1의 거듭제곱근/세제곱근|[math(\omega^3 = 1)]]] 또는 [math({\omega}^2 + \omega + 1 = 0)]의 허근 중 한 값이며, 정확하게는 [math(\displaystyle \omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt 3}{2}i = e^{i\cdot{2\pi}/{3}})] 이다. 수학자 [[고트홀트 아이젠슈타인]]이 연구하여 이 사람의 이름이 붙었다. == 상세 == 아이젠슈타인 정수 전체의 집합은 기호로 보통 [math(\mathbb{Z}[\omega])]로 나타낸다. 이 집합은 덧셈군, 그리고 곱셈에 대한 항등원 [math(1)]을 가지는 [[환(대수학)|가환환]]을 이룬다. 또한, 유클리드 정역(Euclidean domain, ED)이고, 주 아이디얼 정역(단항 이데알 정역, principal ideal domain, PID)이며, 유일 인수분해 정역(unique factorization domain, UFD)이다. [[가우스 정수]]와 특성이 유사하다. [[복소평면]]상에서는 [[https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Eisenstein%27s_integer_numbers.svg|삼각형 격자]]를 그린다. 정수계수 다항식환을 [math(\mathbb Z[x])]라고 하면 [[환(대수학)|몫환]] [math(\mathbb Z[x]/(1+x+x^2))]과 동형이다. == 아이젠슈타인 소수 == 아이젠슈타인 정수는 유일 인수분해 정역(UFD)이며, 다시 말해 아이젠슈타인 소수로 '''유일하게''' 소인수 분해가 가능하다. 가우스 정수와 마찬가지로 자연수에서는 소수이지만 아이젠슈타인 소수는 아닌 경우가 나오는데, 예를 들어 자연수에서는 7은 소수이지만, 한편으로는 [math(7 = (3 + ω)(2 − ω))]으로 분해가 가능하기에 아이젠슈타인 소수는 아니다. 어떤 아이젠슈타인 정수 [math(\pi=a+b\omega)]가 아이젠슈타인 소수라는 것은 다음 조건을 만족하는 것과 동치이다. (단, [math(p)]는 아이젠슈타인 정수가 아닌 정수론에서의 소수를 의미한다.) * [math(\pi=p(\equiv 2 \pmod{3}))] * [math(a^2-ab+b^2=p \equiv 1 \pmod{3})]을 만족하는 [math(a+b\omega)][* [math(a^2-ab+b^2)]은 [math(a+b\omega)]의 절댓값이다.] * 위의 두 조건을 만족하는 수 [math(\pi=a+b\omega)]에 단원 [math(\pm 1, \pm\omega, \pm\omega^2)]을 곱해 만들어진 아이젠슈타인 정수 ([math(\pi'=\pm a\pm b\omega, \mp b\pm(a-b)\omega, \pm(b-a)\mp a\omega)]꼴) * 위의 두 조건을 만족하는 수 [math(\pi=a+b\omega)]에 켤레를 취해 만들어진 아이젠슈타인 정수 [math(\pi'=a+b\bar{\omega})] * [math(1-\omega)] (및 이에 단원을 곱해 만들어진 수) == [[페르마의 마지막 정리]]와의 연관성 == 이 아이젠슈타인 정수는 뜬금 없이 [[페르마의 마지막 정리]]와도 연결이 된다. n = 3 인 경우에 대한 식 [math(x^3 + y^3 = z^3)] 에 대해서 이 식은 3차 단위근 [math( \omega = e^{2 \pi i / 3})] 을 동원해 다음과 같이 인수분해된다. [math(\left(x + y\right)\left(x + \omega y\right)\left(x + {\omega}^2 y\right) = z^3)] 그러므로, 아이젠슈타인 정수에 대해서 파고 들면 FLT 의 n=3 인 경우에 대해서 해결이 가능하다. 좀더 자세한 내용은 [[대수적 정수론]] 문서 참조.캡챠되돌리기