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약수(수학)
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관련 문서: 수학 관련 정보 1. 개요[편집]
約數 / Divisor
b=an인 정수 n이 존재할 때 정수 b는 0이 아닌 정수 a로 나누어진다(0이 아닌 정수 a를 약수로 갖는다)고 말하며, a|b라 표기하고, 이때의 a를 b의 약수라 한다.
0은 0이 아닌 모든 정수로 나누어지며(0이 아닌 모든 정수를 약수로 가지며) 모든 정수는 1로 나누어진다(1을 약수로 갖는다). 또한 0이 아닌 모든 정수는 자기 자신을 약수로 갖는다.
양의 정수 a가 정수 b의 약수이면 음의 정수인 -a 또한 정수 b의 약수이다. 따라서 정수의 약수는 항상 쌍으로 나타나지만 보통 약수라고 하면 일반적으로 양의 약수를 의미한다.
따라서 1보다 큰 모든 자연수는 최소한 1과 자기 자신을 약수로 갖는다.[1] 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 자연수를 소수(素數)라고 한다.[2] 소원, 즉 소수의 진정한 정의는 이곳에 있다. 소수와 달리 합성수는 1과 자기 자신 이외의 수를 약수로 갖는 즉, 약수의 개수가 3 이상인 자연수[3]라고 볼 수 있다. 합성수는 둘 이상의 소수의 곱으로 표현 가능하다.
2. 성질[편집]
- 어떤 자연수 n에 대하여 n=ap×bq×cr×...일 때, n의 약수를 소인수분해하면 n=ap'×bq'×cr'×... (0≤p'≤p, 0≤q'≤q, 0≤r'≤r...)의 꼴로 나타낼 수 있다.
- b가 a의 배수이면 a는 b의 약수이다.
- y가 x의 약수이고 z가 y의 약수이면 z는 x의 약수이다. 예를 들어 12는 36의 약수이고 3은 12의 약수이므로 3은 36의 약수이다. x=ap×bq×cr×...이면 x의 약수 y는 y=ap'×bq'×cr'×... (0≤p'≤p, 0≤q'≤q, 0≤r'≤r...)의 꼴로, y의 약수 z는 z=ap"×bq"×cr"×... (0≤p"≤p', 0≤q"≤q', 0≤r"≤r'...)로 나타낼 수 있고, 이때 0≤p"≤p, 0≤q"≤q, 0≤r"≤r...이기 때문이다.
- a가 y와 z 모두의 약수이면 a는 y+z의 약수이다. 예를 들어 4는 12와 20 모두의 약수이므로 4는 12+20=32의 약수이다. y=m×a, z=n×a라 하면 y+z=(m+n)×a이기 때문이다(m, n은 자연수). 같은 방법으로 a가 y와 z 모두의 약수이면 a=(p×y)+(q×z)의 약수이다(p, q는 자연수).
- 큰 수일수록 약수의 개수가 많아지는 추세이다. 예를 들어 1부터 20까지의 자연수의 약수의 개수의 평균은 3.3개이지만, 81부터 100까지의 자연수의 약수의 개수의 평균은 5.7개이다. 물론 작은 수 중에서도 6이나 12처럼 약수가 4개 이상인 것이 있는 반면, 이보다 훨씬 큰 수 중에서도 소수의 약수는 2개이다. 그리고 짝수라고 해서 크다고 무조건 약수가 많은 것도 아니다.
- [math(A_1)]|[math(B)], [math(A_2)]|[math(B)]일 때, 적어도 [math(A_1)], [math(A_2)] 중 하나는 [math(\sqrt B)] 보다 작거나 같다. 자세한 건 여기 참고.
2.1. 다항식에서의 약수[편집]
의미를 확장하여 어떤 다항식이 2개 이상의 다항식의 곱으로 인수분해될 경우, 그 곱을 이루는 각 다항식 또는 그 다항식의 곱을 약수라고 하기도 한다. 이 때 보통 다항식에서의 약수는 유리계수 다항식까지를 말한다. 예를 들어 [math(x^2 - 1)] 은 [math((x + 1)(x - 1))]로 인수분해되므로, [math(x + 1)]과 [math(x-1)]을 [math(x^2 - 1)] 의 약수로 취급하는 것이다. 마찬가지로 1과 자기자신(이 경우는 [math(x^2 - 1)]) 역시 약수가 된다. 복소계수 다항식의 관점에서 해석할때는 [math(x^2+1)]은 [math((x-i)(x+i))]로 인수분해할 수 있다. 물론 보통 [math(x+i)]와 [math(x-i)]를 [math(x^2+1)]의 약수로 보지 않는다.
2.2. 약수의 개수[편집]
자연수를 소인수분해하였을 때, 각 소인수의 지수에 1을 더한 수들을 곱한 값이다. 예를 들어, 72는 23×32이므로 약수의 개수는 (3+1)×(2+1)=12이다. 이는 자연수를 ap×bq×cr×...의 꼴로 가정했을 때 1에 a를 0, 1, 2, ..., p번(총 p+1가지), b를 0, 1, 2, ..., q번(총 q+1가지), c를 0, 1, 2, ..., r번(총 r+1가지)... 곱하는 경우가 존재하며, 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구하면 (p+1)×(q+1)×(r+1)...이 되기 때문이다.
제곱수의 약수의 개수는 홀수이고, 제곱수가 아닌 경우는 짝수이다. 제곱수의 경우 소인수를 a, b, c, ...라고 할 때 (ap×bq×cr×...)2 = a2p×b2q×c2r×...의 꼴로 표현되므로 소인수의 제곱 횟수가 모두 짝수가 되어, 위 방법으로 약수의 개수를 계산하면 (짝수+1)×(짝수+1)×...×(짝수+1) = (홀수)×(홀수)×...×(홀수) = (홀수)가 되기 때문이다. 반면 제곱수가 아닌 경우는 이러한 꼴로 나타낼 수 없으므로 소인수의 제곱 횟수 중 홀수인 것이 존재한다. 따라서 약수의 개수를 계산할 때 곱하는 수들 중 (홀수+1) = (짝수)인 것이 존재하여 곱셈 결과, 즉 약수의 개수도 짝수가 된다.
이와 관련된 유명한 수학 문제가 하나 있다.
옛날 어느 왕국의 성벽에는 1번부터 100번까지 100개의 성문이 있는데, 매일 100명의 문지기가 다음과 같은 방법으로 문을 여닫는다고 한다.
1번 문지기는 모든 문을 열어 놓는다.
2번 문지기는 2의 배수에 해당하는 문이 열려 있으면 닫고, 닫혀 있으면 연다.
이와 같은 방법으로 n번 문지기는 n의 배수에 해당하는 문이 열려 있으면 닫고, 닫혀 있으면 연다.
그렇다면, 100명이 모두 문을 여닫았을 때, 열려 있는 문은 몇 번 문인가?
1번 문지기가 모든 문을 열어 놓으므로 처음에는 모든 문이 닫혀 있다고 가정하자. n번 문은 n의 약수에 해당하는 문지기에 의해 열리고 닫힐 것이다. 문이 열려 있으면 그 문을 여닫은 문지기가 홀수 명이라는 뜻이고, 닫혀 있으면 짝수 명이라는 뜻이므로, 열려 있는 문에 해당하는 번호의 약수의 개수는 홀수일 것이다. 따라서 최종적으로 제곱수에 해당하는 1, 4, 9, ..., 100번의 10개의 문이 열려 있을 것이다.
참고로 2014학년도 3월 고2 전국연합학력평가 수학 B형에도 비슷한 문제가 등장했는데, n 이하의 자연수 중 양의 약수가 홀수 개인 자연수를 <n>개로 하여 <n>=16인 자연수의 최댓값을 구하는 문제이다. 정답은 288로, 교육청에서 제공한 공식 풀이에서 이 성질을 활용하였다.[4]
약수의 개수의 성질로는 이 외에도 다음과 같은 것들이 있다.
- 어떤 자연수의 약수의 약수의 개수는 그 자연수의 약수의 개수보다 작거나 같다. 같을 때는 약수가 그 자연수인 경우뿐이다.
- 소인수 a의 n제곱 꼴로 나타내어지는 수의 약수의 개수는 (제곱 횟수(진약수의 개수)+1)이고, 약수는 1, a, a2, ..., an이다. 예를 들어 16=24는 소인수인 2의 4제곱이므로 약수가 5개(1, 2, 4, 8, 16)이다.
다항식의 약수 역시 같은 방법으로 생각할 수 있는데, 이때는 소인수 대신 인수분해한 결과에서의 각 다항식을 이용한다는 점만 다르다. 예를 들어 [math(x^4-2x^2+1)]을 인수분해하면 [math((x-1)^2(x+1)^2)]가 되므로 [math((x-1))]과 [math((x+1))]을 각각 0, 1, 2번 곱하는 경우가 있기 때문에 약수는 (2+1)×(2+1)=9개가 된다. 더 이상 인수분해되지 않는 다항식들을 소수처럼 취급하는 셈이다. 앞에서 서술했듯 더 이상 인수분해되지 않는다는 것은 유리계수다항식까지다.
이를 함수의 꼴로 만든 것이 약수 함수이다.
2.3. 약수의 합[편집]
약수의 합 역시 소인수를 이용하여 구할 수 있는데, 어떤 자연수 n을 소인수분해한 결과가 ap×bq×cr×...라 하면 모든 약수의 합은 (1+a+a2+...+ap)×(1+b+b2+...+bq)×(1+c+c2+...+cr)×... 라는 식으로 구할 수 있다. 여기서 등비수열의 합 공식을 사용하면 1+a+a2+...+ap=[math(\frac {a^{p+1}-1}{a-1})]이므로 약수의 합은 [math(\frac {a^{p+1}-1}{a-1})]×[math(\frac {b^{q+1}-1}{b-1})]×[math(\frac {c^{r+1}-1}{c-1})]×...이라고 할 수 있다. 예를 들어 600=23×31×52이므로 모든 약수의 합은 (1+2+22+23)×(1+3)×(1+5+52)=1860이다.
이는 상술한 것처럼 n=ap×bq×cr×...의 약수를 소인수분해하면 n=ap'×bq'×cr'×... (0≤p'≤p, 0≤q'≤q, 0≤r'≤r...)의 꼴로 나타낼 수 있기 때문인데, 여기서 p, q, r, ...을 정할 수 있는 경우의 수를 생각하면 n의 약수의 합은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 여기서는 n=ap×bq라 하자. 그렇다면 약수의 일반적인 꼴은 ap'×bq'이 된다.
위 식을 정리하면 a0×(b0+b1+b2+...+bq)+a1×(b0+b1+b2+...+bq)+a2×(b0+b1+b2+...+bq)+...+ap×(b0+b1+b2+...+bq)=(a0+a1+a2+...+bp)×(b0+b1+b2+...+bq)임을 알 수 있다.(a0×b0)+(a1×b0)+(a2×b0)+...+(ap×b0)
+ (a0×b1)+(a1×b1)+(a2×b1)+...+(ap×b1)
+ (a0×b2)+(a1×b2)+(a2×b2)+...+(ap×b2)
+ ... + (a0×bq)+(a1×bq)+(a2×b0)+...+(ap×bq)
특히 2의 제곱수 꼴(2n)의 경우 약수의 합은 1+2+22+...+2n=2n+1-1이다. 예를 들어 32=25의 약수의 합은 1+2+...+32=63=26-1이다.
이를 함수의 꼴로 만든 것이 약수 함수이다.
2.4. 진약수[편집]
어떤 자연수를 n이라고 할 때 n의 약수 중 n을 제외한 모든 약수를 진약수라고 부른다.
n의 모든 진약수의 합을 s라고 할 때, n이 s보다 크면 부족수고, n이 s보다 작으면 과잉수고, n이 s와 같으면 완전수다. 또 a의 진약수의 합이 b이고 b의 진약수의 합이 a이면 a와 b는 서로 친화수라고 한다. 자세한 내용은 각 문서 참고.
2.5. 최대공약수[편집]
두 수 a,b 가 있을때, 어떤 수 n 이 a 의 약수이면서 동시에 b 의 약수일때 이를 '공약수'라고 부른다. 그런 공약수 중에서 가장 큰 수를 최대공약수라고 부른다. 만약 두 수 a,b 의 공약수가 1 뿐이라면, 두 수의 최대공약수 역시 당연히 1이 된다. 이때 이 두 수를 '서로소인 수'라고 부른다.
이 최대공약수[5]는 대수학분야의 정수론이나 현대대수학에서도 많이 활용된다. 대표적으로 기약잉여계가 그 중 하나이다.
3. 교육 과정에서의 약수[편집]
- 초등학교 5학년 수학 교과의 '약수와 배수' 단원에서 약수에 관하여 처음 배운다.
- 중학교 수학에서는 약수에 관하여 이보다 심화하여 배운다.
- 고등학교 수학의 '순열과 조합' 부분에서 상술한 약수의 개수 구하는 방법을 이용한 약수의 개수를 구하는 문제가 출제될 수 있다.[6] 약수의 합을 구하는 문제도 간혹 출제된다.
- 대학교 학부 과정의 이산수학에서 약수에 관하여 배우는 경우가 많다.
4. 유니타리 약수[편집]
Unitary divisor
자연수 n의 약수 중 d라는 수가 있을 때, d와 n÷d가 서로소이면 d를 n의 유니타리 약수라 한다. 예를 들어 36의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36인데, 여기서 36÷4=9와 4는 서로소이므로 4는 36의 유니타리 약수이다. 이는 9도 마찬가지.
유니타리 약수의 성질로는 다음과 같은 것들이 있다.
- 1과 자기 자신은 모든 자연수의 유니타리 약수이다. 자연수 n에 대하여 1과 n은 반드시 서로소이기 때문. 따라서 소수의 전체 약수와 유니타리 약수는 모두 1과 자기 자신의 2개뿐이다.
- d가 n의 유니타리 약수일 때 n÷d 역시 n의 유니타리 약수이다. d와 n÷d가 서로소이면 n÷(n÷d)=d가 성립하여 n÷(n÷d)와 n÷d 역시 서로소이기 때문이다. 예를 들어 4가 36의 유니타리 약수이므로 36÷4=9 역시 36의 유니타리 약수이다.
- 자연수 n을 소인수분해한 결과가 p1×q1×r1...과 같이 지수가 모두 1일 때 n의 약수는 모두 n의 유니타리 약수이다. 예를 들어 30=21×31×51이므로 30의 약수 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30은 모두 유니타리 약수이다. 이는 이때 n의 약수가 n의 소인수 중 몇 개를 선택하여 그것들을 모두 곱한 수이므로, 그 약수를 d라 하면 n÷d는 나머지 소인수들을 선택하여 모두 곱한 값이 되는데, 여기서 n과 n÷d에서 선택한 소인수가 서로 중복되지 않아서 곱한 결과가 서로소가 되기 때문이다.
- 자연수 n을 소인수분해한 결과가 ap×bq×cr...와 같을 때, ap', bq', cr', ...(0≤p'≤p, 0≤q'≤q, 0≤r'≤r, ...)는 모두 n의 유니타리 약수이다. 예를 들어 1800=23×32×52의 약수 중 23=8, 32=9, 52=25는 모두 유니타리 약수이다.
- 어떤 자연수의 약수를 작은 수부터 나열할 때, 유니타리 약수의 위치는 가운데를 기준으로 좌우 대칭이다. 예를 들어 100의 약수는 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100인데, 100의 유니타리 약수는 1, 4, 25, 100으로 이는 100의 약수를 작은 수부터 나열할 때 각각 1, 3, 7, 9번째에 해당하며, 가운데인 5번째를 기준으로 좌우 대칭이다.
- 소인수의 제곱수 꼴로 나타내어지는 수의 유니타리 약수는 1과 자기 자신뿐이다. 그 수를 n, 나머지 약수 중 하나를 d라 하면 d와 n÷d는 모두 해당 소인수를 약수로 갖기 때문이다.
4.1. 유니타리 약수의 개수[편집]
자연수 n을 소인수분해한 결과가 ap×bq×cr...일 때 유니타리 약수는 1에 각 소인수를 0번 또는 p, q, r, ...번 곱한 수이며, 그 사이의 횟수만큼 곱한 소인수가 있는 수는 유니타리 약수가 아니다. 나머지 소인수를 곱한 횟수에 상관없이 a를 k(0<k<p)번 곱한 수를 X라 하면, n÷X는 a를 (p-k)(0<p-k<p)번 곱한 수이므로 a를 소인수로 가지게 되어 X와 n÷X가 서로소가 아니기 때문이다. 예를 들어 n=ap×bq×cr(a, b, c, ...는 소인수)라 하면 n의 유니타리 약수는 1, ap, bq, cr, ap×bq, ap×cr, bq×cr, ap×bq×cr의 8개이다.
따라서 유니타리 약수의 개수는 n의 소인수가 x개라고 했을 때 각 소인수 및 이들의 곱해진 횟수(지수)와 상관없이 2x개이다. 예를 들어 1260=22×32×5×7이므로 1260의 유니타리 약수의 개수는 24=16개이며, 330=2×3×5×11로 소인수와 그 곱해진 횟수는 1260과 다르지만 1260처럼 소인수가 4개이므로 역시 16개이다. 따라서 유니타리 약수의 개수가 홀수인 경우는 20=1개여야 하므로 오직 1뿐이다. 또한 약수의 개수가 n인 자연수 중 유니타리 약수의 개수가 가장 많은 경우는 n의 각 소인수가 곱해진 지수를 모두 더한 값을 x개라고 할 때, 2x개가 최대이며, 이 값은 n보다 작거나 같다. 이는 어떤 자연수의 유니타리 약수의 개수가 그 수의 약수의 개수보다 적거나 같다는 것을 의미한다.
이 때문에 100 이하의 자연수의 유니타리 약수의 개수는 다음과 같으며, 유니타리 약수가 2n개 이상인 최소의 자연수는 소수를 작은 것부터 p1, p2, ...라고 할 때 p1×p2×...×pn이다. 예를 들어 유니타리 약수가 25(=32)개 이상인 최소의 자연수는 2×3×5×7×11=2310이다.
유니타리 약수의 개수가 1을 제외하고 짝수라는 것은 다음의 방법으로도 알 수 있다.
- 유니타리 약수는 1과 자기 자신을 포함하여 n을 유니타리 약수인 d(≠n, ≠1)로 나눌 때의 d와 n÷d의 쌍이므로 제곱수가 아닌 경우에는 유니타리 약수의 개수가 언제나 짝수임을 알 수 있다.
- 제곱수(n2라 하자.)의 경우, 제곱근인 n은 n=1인 경우를 제외하고 유니타리 약수가 될 수 없다. n과 n2÷n=n은 서로소가 되지 않기 때문이다. 따라서 상술한 d와 n÷d의 쌍이 남으므로 짝수 개이다.
- 예를 들어 144의 유니타리 약수의 쌍은 (1, 144), (9, 16)으로 이 쌍에 속하는 유니타리 약수는 4개이고, 제곱근인 12는 유니타리 약수가 아니므로 유니타리 약수는 모두 4개이다.
4.2. 유니타리 약수의 합[편집]
자연수 n을 소인수분해한 결과가 n=ap×bq×cr×...일 때 유니타리 약수는 ap, bq, cr, ... 중에서 전체 또는 일부를 선택하여 곱한 수와 1이기 때문에 그 합은 1+ap+bq+cr+...+(ap×bq×cr×...)이고, 이를 인수분해하면 (1+ap)×(1+bq)×(1+cr)×...이다. 예를 들어 60을 소인수분해하면 22×31×51이므로 60의 유니타리 약수의 합은 (1+22)×(1+31)×(1+51)=120이다.
5. 기타[편집]
- 약수를 구할 범위를 정수까지 확장하여 음의 약수까지 고려한다면, 약수의 개수는 양의 약수에 -1을 곱한 것들까지 합하여 2배로 늘어나고, 약수의 합은 0이 된다.
- 약수의 범위를 양의 유리수까지 확장하면 약수의 개수는 무한히 많아진다. 어떤 자연수 n의 1/x배(x는 자연수)를 모두 유리수로 나타낼 수 있고, 이것들이 모두 n의 약수이기 때문이다. 이럴경우 약수가 가지는 성질이 의미가 없어지기에 약수의 범위는 정수까지만 확장한다.
- 약수의 범위는 자연수로 한정하고, 양의 유리수의 약수라는 개념을 인정하면 자연수가 아닌 양의 유리수의 약수는 없다.
- 0은 일반적으로 볼 땐 약수가 없다. 하지만 '0의 약수'라는 개념을 인정하면 0은 0을 제외한 모든 자연수로 나누어 떨어지므로 모든 자연수가 0의 약수가 된다. 따라서 0의 약수는 실제로는 무한히 많다.
- 약수가 많은 수는 n등분하기 편하기 때문에 실생활에서 많이 쓰인다. 대표적인 예가 인류의 역사와 함께 해온 60진법이다. 1시간을 60분으로, 1분을 60초로 나누는 것 등이 인간의 생활 속에 적용된 60진법에 해당한다. 그 외에도 1년을 12개월로 나누는 것, 하루를 24시간으로 나누는 것, 경제학에서의 72의 법칙이 이에 해당한다.
- 위키백과나 나무위키 등의 위키에서 특정 수에 관한 문서를 검색하면 그 수의 약수에 관하여 설명하는 내용이 있는 경우가 많다. 예를 들어 '약수는 ...로 총 ...개이며, 이들의 합은 ...이다'[9]라고 설명하는 식. 2020년 9월 9일 이후 이러한 내용 및 몇 가지 추가적 내용만을 가진 문서는 등재기준 미달로 삭제된다.
- 울프럼알파에서 특정 수 N의 약수를 찾으려면 'divisor N' 또는 'divisors N'이라고 검색하면 된다[10]. 약수의 목록과 약수의 개수, N을 인수분해한 결과가 나타난다. 예시
- C언어 등 프로그래밍 언어 활용 문제의 소재로 약수를 출력하는 것이 많이 등장한다.
- 어떤 자연수 n의 1과 자기 자신을 제외한 약수의 합을 f(n)이라 하자. 두 자연수 a, b에 대하여 f(a)=b, f(b)=a일 때 a, b를 서로 부부수라고 한다. 대표적인 부부수로 48과 75가 있는데, f(48)=2+3+4+6+8+12+16+24=75, f(75)=3+5+15+25=48이다.
- 약수의 개수가 n개 이상이 되는 최소의 자연수 N은 다음과 같다.
- 언어별 명칭
5.1. 1000 이하의 자연수의 약수[편집]
5.1.1. 1~100[편집]
5.1.2. 101~200[편집]
5.1.3. 201~300[편집]
5.1.4. 301~400[편집]
5.1.5. 401~500[편집]
5.1.6. 501~600[편집]
5.1.7. 601~700[편집]
5.1.8. 701~800[편집]
5.1.9. 801~900[편집]
5.1.10. 901~1000[편집]
5.1.11. 결론(1~100)[편집]
약수의 개수별로 몇 개가 있는지 따지자면 다음과 같다. 상술한 것처럼 약수의 개수가 홀수인 경우는 제곱수뿐이므로 짝수인 경우보다 훨씬 적다. 또한 위에서 볼 수 있다시피 홀수의 약수보단 짝수의 약수가 훨씬 더 많다. 왜냐하면 2n과 pn(단, p는 2가 아닌 소수)은 약수 개수가 같지만 항상 2n<pn이므로 비슷한 크기의 수라면 홀수의 약수 개수가 더 적을 것이기 때문이다.
6. 관련 문서[편집]
[1] 그 수가 만약 짝수라면 1, 2, 자기 자신(n) 과 자기 자신을 2로 나눈 수(n÷2)를 약수로 갖는다.[2] 즉 소수는 약수의 개수가 2인 자연수를 뜻한다고 볼 수 있다.[3] 1 + n + 자신[4] 위의 문제를 이해했다면, <n>=m일 때, m2≤n<(m+1)2 라는 것을 눈치챘을 것이다. 수식을 이용해 나타내면 [math(\langle n\rangle = \lfloor \sqrt{n}\rfloor)]이다. [math(\lfloor\;\cdot\;\rfloor)]는 바닥 함수.[5] 실상 최대공약수 전체 부분보다는 주로 서로소인 1이 해당된다. 물론 그렇다고 해서 반드시 서로소만 사용 되는것은 아니다.[6] 종종 중학교 때 개수를 구하라고 하는 경우가 있다.[7] 1과 자기 자신[8] 유니타리 약수가 16개 이상인 최소의 자연수는 소인수가 4개 이상이어야 하므로 2×3×5×7=210이다.[9] 여기에 '따라서 이 수는 부족수/완전수/과잉수이다.'라고 설명하는 경우도 있다.[10] N 앞에 'of'를 추가해도 된다.[11] 약수가 홀수 개이려면 제곱수여야 하는데, 16의 약수의 개수는 5개이다.[12] 약수가 정확히 7개인 제일 작은 수는 64이다. 그리고 원래 약수가 소수 p 개인 수는 소인수분해의 방식이 xp-1인 경우밖에 없으므로 임의의 소수의 p-1제곱 뿐이다. 이러한 성질을 가진 자연수 중 가장 작은 수는 당연히 2의 p-1제곱.[13] 약수가 14개인 수는 나오기 어려운 것이, 14=2×7이므로 약수가 14개이려면 a6×b(a, b는 서로 다른 소수여야 한다고 했을 때이다) 혹은 a13 중 하나의 꼴로 나타내어져야 하는데, 이러한 형식의 소인수분해를 가지는 최소의 자연수는 a=2, b=3일 때 26×3=192이다. 이는 약수의 개수가 21(=3×7)개, 22(=2×11)개, 26(=2×13)개, 33(=3×11)개, 34(=2×17)개, 35(=5×7)개 등등과 같이 약수의 개수를 나타내는 수가 5 이상의 소수들끼리의 곱일 때도 마찬가지다.