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도함수
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1. 개요[편집]
導函數 / derivative
도함수는 미분계수를 일반화한 개념으로, 함수의 접선의 기울기를 보여주는 함수이다. 미분계수를 구하는 과정(특정한 [math(x)] 값에서의 평균변화율의 극한값)을 하나의 연산으로 보았을 때, 다음과 같이 도함수를 정의할 수 있다. 영어에서는 미분계수와 도함수의 구별 없이 전부 derivative라고 부른다.
함수 [math(y=f(x))]의 도함수를 기호 [math(y')], [math(f'(x))][1] , [math(\displaystyle \frac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x})][2] , [math(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x))], [math(\dot{y})][3] 등으로 나타낸다. 또한 도함수를 구하는 과정을 미분한다(differentiate)고 한다. 어떤 함수의 도함수가 미분 가능할 때 이 도함수를 한 번 더 미분한 함수를 '이계도함수'라고 부르고[4] , 어떤 함수가 [math(n)]번 미분이 가능할 때 [math(n)]번 미분하면 '[math(n)]계도함수'라고 부른다. (단, [math(n)]은 자연수) '이계도함수' 이상부터 통틀어서 '고계도함수'라고 부른다.함수 [math(f)]의 정의역의 원소 [math(x)]에 다음 극한값: [math(\displaystyle m_x=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x})]가 존재하면 [math(m_x)] 함수를 [math(f)]의 도함수라 한다.
도함수의 존재성은 실수인지 복소수인지에 따라 다른데, 복소수 위에서의 미분이 훨씬 까다롭기 때문에[5] 실수 위에서 미분 가능한 함수가 복소수 위에서는 미분 불가능할 수 있다.[6]
2. 미분법[편집]
합성함수의 도함수, 매개변수로 나타내어진 함수의 도함수, 음함수 꼴의 도함수 등이 있다.
- 합성함수의 미분
- 매개변수의 미분법
- 일반적인 함수에 대해서는 다음과 같다.
- [math(\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|f(x)| = (\mathrm{sgn} \circ f)(x)\cdot f'(x))]
- [math(\dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}|f(x)| = (\mathrm{sgn} \circ f'')(x) + 2(\delta \circ f)(x)\cdot [ f'(x) ]^2)][7]
2.1. 기본 공식[편집]
여기서는 도함수를 미분연산자 [math(D)]를 이용하여 표현할 것이다. 즉, 함수 [math(\displaystyle y=f(x))]의 도함수 [math(\displaystyle y'=f'(x)=\frac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x}=\frac{\rm d}{{\rm d}x}y=Dy=Df(x))]이다. 연산자에 대한 개념이 제대로 잡혀 있지 않은 독자의 경우, 간단하게 [math(\dfrac{\rm d}{{\rm d}x}=D)]라고 치환했다고 비유적으로 이해해도 괜찮다.
각 함수의 도함수가 존재함(각 함수가 미분가능함)을 전제로 한다.
여기서 미분연산자 [math(D)]가 (3)과 (4)를 만족시키므로, [math(D)]는 선형연산자이다.(1) [math(y=c)]이면 [math(Dy=0)] ([math(c)]는 상수)
(2) [math(y=x^n)]이면 [math(Dy=nx^{n-1})] ([math(n)]은 실수)
(3) 상수 [math(k)]에 대해 [math(D[ kf(x) ]=kDf(x))]
(4) [math(D[ f(x) \pm g(x) ]=Df(x) \pm Dg(x))]
(5) [math(y=f(x)\cdot g(x))]이면 [math(Dy=f'(x)g(x)+f(x)g'(x))]
(6) [math(\displaystyle y={f(x) \over g(x)})](단, [math(g(x)\ne 0)])이면 [math(Dy)]=[math(\displaystyle \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} )]
2.1.1. 공식 (2) 증명[편집]
[math(x^n)]의 도함수 [math(nx^{n-1})]은 [math(n)]의 범위에 따라 다른 증명법을 취한다.
① [math(n)]이 임의의 양의 정수일 경우
[math(f(x)=x^n)] ([math(n)]은 양의 정수)이라 하면
[math(f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}h=\lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^n-x^n}h)]
[math((x+h)^n)]을 이항정리로 전개하면
[math(\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{(\cancel{x^n}+{}_n\mathrm C_1x^{n-1}h+{}_n\mathrm C_2x^{n-2}h^2+\cdots+{}_n\mathrm C_{n-1}xh^{n-1}+{}_n\mathrm C_nh^n)-\cancel{x^n}}h)]
[math(x^n)]을 소거하고 [math(h)]로 약분하면
[math(\displaystyle\lim_{h\to 0}({}_n\mathrm C_1x^{n-1}+{}_n\mathrm C_2x^{n-2}h+\cdots+{}_n\mathrm C_{n-1}xh^{n-2}+{}_n\mathrm C_nh^{n-1})={}_n\mathrm C_1x^{n-1}=nx^{n-1})]
② [math(n)]이 임의의 실수일 경우
[math(y=x^n)] ([math(n)]은 실수)의 양변에 자연로그 [math(\ln)]을 취하면
[math(\ln y=\ln x^n=n\ln x)]
후술할 음함수 미분법과 [math(\ln x)]의 도함수가 [math(1/x)]임을 이용해 양변을 [math(x)]에 대해 미분하면
[math(\displaystyle\frac1y\cdot\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac nx)]
[math({\rm d}y/{\rm d}x)]에 대해 정리하고 [math(y=x^n)]을 대입하면
[math(\displaystyle\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=\frac nx\cdot x^n=nx^{n-1})]
2.2. 연쇄 법칙[편집]
미분연산자 [math(D)]의 다른 표기법은 다음과 같다. [math(y)]가 [math(x)]에 대한 함수이면, [math(y)]의 도함수를 [math(D_{x}y)]로 나타낸다. 예를 들어, [math(y=u^{10}, u=2x^2+10)]이면 [math(D_{u}y=10u^9)], [math(D_{x}u=4x)]이다. 그런데, [math(u=2x^2+10)]을 [math(y=u^{10})]에 대입하면 [math(y=(2x^2+10)^{10})]이다. 이를 미분하면 [math(y'=D_{x}y=10(2x^2+10)^9\cdot 4x)]로, 이 값은 [math(D_{u}y)]에 [math(D_{x}u)]를 곱한 값과 같다. 즉, 미분가능한 두 함수 [math(y=f(u))], [math(u=g(x))]에 의해 결정된 합성합수 [math(y=f(g(x)))]에서, [math(y)]는 [math(u)]보다 [math(D_{u}y)]배 만큼 변하고, [math(u)]는 [math(x)]보다 [math(D_{x}u)]배 만큼 변한다. 따라서 [math(y)]는 [math(x)]보다 [math(D_{u}y\cdot D_{x}u)]배 만큼 변한다. 이를 연쇄법칙(chain rule)이라고 한다.
[math(y)]가 [math(u)]에 대한 함수이고, [math(u)]가 [math(x)]에 대한 함수이며, 함수 [math(y)], [math(u)]가 각각 [math(u)], [math(x)]에서 미분가능하면 [math(y)]와 [math(u)]의 합성함수는 [math(x)]에서 미분가능하고 [math(D_{x}y=D_{u}y\cdot D_{x}u)]이다.
이러한 연쇄법칙은 다변수함수의 미분에서도 성립한다. 두 미분가능한 다변수 함수 [math(F : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m)]와 [math(G : \mathbb{R}^m \rightarrow \mathbb{R}^k)]에 대해서 둘의 합성함수 [math(G \circ F)] 또한 미분가능하며 그 도함수값(미분계수)은 [math(D(F\circ G)(a)=DF(G(a))DG(a))] 로 나타난다. 일반적으로 다변수의 도함수값은 행렬이므로 뒤의 곱은 행렬의 곱이다.
2.2.1. 역함수의 도함수[편집]
자세한 내용은 역함수 정리 문서를 참고하십시오.
2.3. 곱미분[편집]
자세한 내용은 곱미분 문서를 참고하십시오.
2.4. 몫미분[편집]
자세한 내용은 몫미분 문서를 참고하십시오.
2.5. 정적분으로 정의된 함수의 미분[편집]
- [math(f)]는 [math(t)]만의 함수이고, [math(g(x)=a)], [math(h(x)=x)]인 경우 (단, [math(a)]는 상수) (미적분의 제1 기본정리)
- [math(f)]는 [math(t)]만의 함수이고, [math(g(x)=x)], [math(h(x)=a)]인 경우
- [math(f)]는 [math(t)]만의 함수이고, [math(g(x)=a)]인 경우
- [math(f)]는 [math(t)]만의 함수이고, [math(h(x)=a)]인 경우
- [math(f)]가 [math(t)]만의 함수인 경우
- [math(g(x)=a)]이고 [math(h(x)=b)]인 경우 (단, [math(a)], [math(b)]는 상수)
여기서 [math(\partial)]는 편미분 기호이다. 자세한 내용은 이 문서의 편미분 문단을 참고하면 된다.
2.6. 편미분[편집]
偏微分, partial derivative
다변수 함수 [math(f(x, y, z, \cdots))]에서 하나의 변수만 남겨놓고 나머지 변수를 상수 취급하는 미분법이다.
다차원 함수식에서 워낙 중요한 연산자인지라 편미분된 함수를 편도함수라고 부르며, [math(\partial)]라는 기호를 따로 쓴다.[9][10] 당연하지만 원시함수의 변수가 둘 이상이기 때문에, 제대로 풀려면 순수 해석학만으로는 부족하고 선형대수학을 동원해야 한다.
이 편미분 기호 [math(\partial)][11] 는 명칭이 여러가지로, '델', '디', '파셜', '라운드', '파셜 디', '라운드 디' 등이다. 공대에서는 '라운드'라고 많이 불린다. 그런데 이 중에서도 특히 '델'은 [math(\nabla)](del)[12] 과 이름이 겹치므로 헷갈리지 않도록 주의해야 한다. 대개 [math(\partial)]을 '델'로 읽는 사람은 [math(\nabla)]를 '나블라'로 읽는 경향이 있다.
고등학교에서 기초적인 편미분을 배울 수 있는데 바로 '이계도함수', '음함수의 미분'[13] 이다. 하지만 그것 말고도 함수가 더럽게 뒤엉켜 있는 함수방정식과 도함수까지 나오는 미분방정식 중 고등학교 시험에 나오는 것들에 요긴하게 써먹을 수 있다. 사실 이런 문제들은 고등학교 수준에서는 꽤 어렵기 때문에 모의고사나 수능에 4점짜리로 종종 나오곤 했는데 요즘에는 절대로 나오지 않는다. 학생들이 다름아닌 편미분으로 너무 쉽게 풀어버리기 때문이다.
다변수함수는 모든 변수에 대한 편도함수가 존재하더라도 연속이 아닐 수 있다. 그러나 편도함수들이 모두 연속이라면 원 함수도 연속이며 미분가능하다.
경제학을 비롯한 사회과학에서도 편미분이 중시되는데, 그 이유는 사회과학에서 “여러 변수들이 동일하다(ceteris paribus)”라는 조건을 쓸정도로 변수처리에 대한 고려가 많기 때문이다. 즉 여러 변수를 ceteris paribus로 두고, 한 변수를 중점적으로 미분한다. 사회과학 관련 여러 변수들은 자연과학에서 요구되는 규칙보다 심오한 편[14] 으로, 자연과학의 여러 방정식보다는 적용이 힘들기 때문에 자연과학에 편미분을 적용하는 것보다는 활발한 편까지는 아니다.
아래의 그림과 같이 [math(x)]와 [math(y)]가 곱해진 식을 편미분할 때 헷갈릴 수 있으니 주의한다.
2.6.1. 활용 예시[편집]
- 접평면의 방정식
공간 상의 곡면 [math(S)] 위의 한 점 [math(X)]에 접하는 평면과 임의의 평면 [math(P)]의 교선은 [math(S)]와 [math(P)]의 교선 위의 점 [math(X)]에서의 접선이다.위의 정리에서 3차원 좌표공간 상의 곡면 [math(S:z=f(x,\,y))] 위의 한 점 [math((x_0,\,y_0,\,z_0))]에 접하는 평면과...
- [math(P:x=x_0)]와의 교선은
즉, 접선의 방향벡터는 [math((0,\,1,\,\dfrac{\partial z}{\partial y}))]
- [math(P:y=y_0)]와의 교선은
즉, 접선의 방향벡터는 [math((1,\,0,\,\dfrac{\partial z}{\partial x}))]
접평면은 이 두 직선을 포함하여야 하므로 법선벡터는 이 두 벡터에 수직인 벡터이다.
[math(\vec h\parallel(0,\,1,\,\dfrac{\partial z}{\partial y})×(1,\,0,\,\dfrac{\partial z}{\partial x})=(\dfrac{\partial z}{\partial x},\,\dfrac{\partial z}{\partial y},\,-1))]
그러므로 접평면의 방정식은
[math(T:\dfrac{\partial z}{\partial x}(x-x_0)+\dfrac{\partial z}{\partial y}(y-y_0)-(z-z_0)=0\\\therefore T:z=z_0+\dfrac{\partial z}{\partial x}(x-x_0)+\dfrac{\partial z}{\partial y}(y-y_0))]
- 음함수의 미분
[math(t:\dfrac{\partial z}{\partial x}(x-x_0)+\dfrac{\partial z}{\partial y}(y-y_0)=0)]
[math(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})]는 위 직선의 기울기이므로
[math(\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\dfrac{\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}}{\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}})]
2.7. 전미분[편집]
[15][math(\mathrm{d}f(x,y,z)=f_x(x,y,z)\mathrm{d}x+f_y(x,y,z)\mathrm{d}y+f_z(x,y,z)\mathrm{d}z)]
전미분(total differential)은 편미분과는 반대로 미분꼴이 다수의 변수를 품은 형태이다. 이 개념을 일반화한 게 미분형식이다.
2.8. 음함수의 미분[편집]
음함수 [math(f(x,\,y)=0)]이 있을 때, [math(z \equiv f(x,\,y))]라 하고 양변을 전미분하면
[math(\displaystyle {\rm d}z=\frac{\partial f}{\partial x}{\rm d}x+\frac{\partial f}{\partial y}{\rm d}y=0 )]
음함수의 미분법은 단순 음함수 표현을 띄는 초월함수식들부터 시작해서 특히 이차곡선에서 많이 쓰인다. 이들 곡선은 [math(x)]값 하나에 [math(y)]값 [math(2)]개가 대응되므로 함수가 아니다. 단, [math(x^2=4py)]는 이차함수이므로 다항함수의 미분법을 적용해도 미분이 가능하다.
- 포물선
- 타원
- 쌍곡선
원의 방정식 [math(x^2+y^2-1=0)]을 y에 대한 함수로 나타내면 [math(y=\pm \sqrt {1-x^2})]이다. 이처럼 [math(y)]가 [math(x)]에 대한 함수로 정의되면 [math(y)]를 [math(x)]에 대한 양함수(explicit function, 陽函數)라 하고, 원의 방정식처럼 여러 개의 변수들의 관계식, 즉 [math(F(x,\,y)=0)]의 꼴로 정의될 때 [math(y)]를 [math(x)]에 대한 음함수(implicit function, 陰函數)[16] 라 한다. 관계식 [math(F(x,\,y)=0)]을 [math(y)]에 대한 함수로 나타내어 미분하는 것이 쉽지 않은 경우가 많기 때문에, 관계식 [math(F(x,\,y)=0)]를 그대로 미분하되 [math(y)]가 [math(x)]에 대한 식으로 표현됨에 유의하여 연쇄법칙을 적용한다. 예를 들어 [math(F(x,\,y)=x^2+y^2-1=0)]을 [math(x)]에 대해 미분하면 [math(2x+2y\cdot \dfrac {\mathrm{d}y} {\mathrm{d}x} =0)]이 되어 [math(\dfrac {\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\dfrac x y)]가 된다. [17]
기하적인 의미로, 델 연산자를 사용하여 접선의 법선벡터를 구하는 방법으로 해석할 수도 있다.
음함수 [math(f(x,\,y)=0)]의 그래프 위의 점 [math((a,\,b))]에서의 접선의 법선벡터는 [math(\vec h=\nabla f(x,\,y)_{(a,b)})]
사실 음함수의 미분'법'이라고 하는 것은 chain rule에 의한 자명한 결과이다. 이변수 함수 [math(f(x,\,y))]와 일변수 함수 [math(g(x))]가 각각 미분가능하면 두 함수로 만들어낸 새로운 일변수 함수[math(f(x,\,g(x)))]또한 미분가능하고 그 값은 chain rule에 의해 구할 수 있게 된다.
그럼에도 불구하고 많은 미적분학 책에서는 이를 따로 가르치고 있는데 이는 단순한 미분'법'을 가르치기 위해서가 아니라(사실 미분법은 chain rule에서 이미 가르쳤다.) [math(y)]를 [math(x)]에 대한 함수로 본다는 사실을 강조하기 위함을 보여진다. 즉, 어떤 이변수 함수 [math(f(x,\,y))]가 주어질 때 [math(f(x,\,g(x))=0)]을 만족시키는 미분가능한 [math(g(x))]가 존재하는가? 라는 것을 강조하기 위함이다.
이러한 의문은 '음함수의 정리'가 만족시켜 주는데 기본적으로 미적분학책에서 나올 정도의 함수는 대부분 다 음함수 정리의 조건을 만족시키는 좋은 함수라고 할 수 있다.
3. 도함수의 응용(활용)[편집]
미분법을 배우는 주된 이유 중 하나는 함수의 그래프를 그리기 위해서이다. 도함수로 원래함수의 상태를 알아내 형태를 그릴 수 있기 때문. 함수의 형태와 특징을 알기 위해서는 도함수와 함께 몇가지 다른 개념들이 필요하다. 이 개념들을 이용하면 함수의 그래프를 그릴 수 있다.
3.1. 최댓값과 최솟값[편집]
함수 [math(f)]가 [math(S)]에서 정의되고 [math(c\in S)]라 하자.
1. 모든 [math(x\in S)]에 대하여 [math(f(c)\ge f(x))]이면 [math(f(c))]는 [math(f)]의 최댓값(maximum value)이다.
2. 모든 [math(x\in S)]에 대하여 [math(f(c)\le f(x))]이면 [math(f(c))]는 [math(f)]의 최솟값(minimum value)이다.
3.1.1. 최대·최소 정리[편집]
자세한 내용은 최대·최소 정리 문서를 참고하십시오.
3.1.2. 임계점 정리[편집]
위의 세 종류의 점을 임계점이라 한다.[18][math(f)]가 [math(c)]를 포함하는 구간 [math(I)]에서 정의된 함수라 하자. [math(f(c))]가 최대 또는 최솟값이면 [math(c)]는 다음 중 하나이다.
1. [math(I)]의 끝점 (예를 들어, 구간 [math([a,\,b])]의 끝점은 [math(a)]와 [math(b)]이며, 구간 [math([a,\,b))]의 끝점은 [math(a)]이다)
2. [math(f)]의 정점(Apex) ([math(f'(c)=0)] 인 점)
3. [math(f)]의 특이점(Singular point) ([math(f'(c))]가 존재하지 않는 점으로 그래프가 꺾인 점, 접선의 기울기가 발산하는 점, 불연속인 점이 있다)
3.2. 단조성과 오목·볼록[편집]
[math(f)]가 구간 [math(I)]에서 정의될 때 [math(I)] 내의 임의의 두 점 [math(x_{1})], [math(x_{2})]에 대하여
1. [math(x_{1}<x_{2})]일 때 [math(f(x_{1})<f(x_{2}))]이면 [math(f)]는 구간 [math(I)]에서 증가한다(increase)고 하고
2. [math(x_{1}<x_{2})]일 때 [math(f(x_{1})>f(x_{2}))]이면 [math(f)]는 구간 [math(I)]에서 감소한다(decrease)고 하며
3. 함수 [math(f)]가 1 또는 2를 만족하면 [math(f)]는 구간 [math(I)]에서 단조롭다(monotone)고 한다.
3.2.1. 단조성 정리[편집]
이때 구간 [math(I)]의 모든 내점 [math(x)]에 대하여 증가 또는 감소임에 유의하자. 즉, 증가 또는 감소 구간은 양 끝점을 포함한다. 단조성 정리의 증명과 이로부터 도출되는 정리는 역도함수로 정의되는 부정적분에 있어 굉장히 중요한 의미를 갖는다. 이에 대한 내용은 평균값의 정리를 참조할 것.[math(f)]가 구간 [math(I)]에서 연속이며 [math(I)]의 모든 내점에서 미분가능할 때
1. [math(I)]의 모든 내점 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)>0)]이면 [math(f)]는 [math(I)]에서 증가하며,
2. [math(I)]의 모든 내점 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)<0)]이면 [math(f)]는 [math(I)]에서 감소한다.
3.2.2. 오목성 정리[편집]
만약 접선이 그래프를 따라 왼쪽에서 오른쪽으로 이동할 때 반시계방향으로 회전하면 그래프는 위로 오목(concave up) 또는 아래로 볼록(convex down)이며, 시계방향으로 회전하면 아래로 오목(concave down) 또는 위로 볼록(convex up)이다.[19]
정확한 정의는 다음과 같다. (반드시 미분 가능해야 할 필요는 없다.)
함수 [math(f)]가 열린구간 [math((a,\,b))]에서 연속일 때, 임의의 [math(0<e<1)]과 [math((a,\,b))]안의 모든 점 [math(x<y)]에 대해 [math(f(ex+(1-e)y)\le ef(x)+(1-e)f(y))]일 때 [math(f)]는 위로 오목(아래로 볼록)이며, [math(f(ex+(1-e)y)\ge ef(x)+(1-e)f(y))]일 때 [math(f)]는 아래로 오목(위로 볼록)이다.
함수가 미분가능하다면, 도함수를 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다. (위의 정의로부터 어떤 함수가 위로 오목/아래로 오목이면 연속이며 만약 미분가능하다면 도함수가 증가/감소함수임을 보일 수 있다.)
함수 [math(f)]가 열린구간 [math(I=(a,\,b))]에서 미분가능하다고 하자. [math(f')]이 [math(I)]에서 증가하면 [math(f)]는 위로 오목(아래로 볼록)이며 [math(f')]이 [math(I)]에서 감소하면 [math(f)]는 아래로 오목(위로 볼록)이다.
여기서 열린구간에서 미분가능한 함수임에 유의하자. 즉, 오목 또는 볼록 구간은 양 끝점을 포함하지 않는다. 또한[math(\ f'')]이 양수이면 [math(f')]이 증가하고 [math(f'')]이 음수이면 f'이 감소하므로 다음의 오목성 정리가 성립한다. [math(f)]를 열린구간 [math((a,\,b))]에서 두 번 미분가능한 함수라 하자. [math((a,\,b))]의 모든 점 [math(x)]에 대하여
1.[math(\ f''(x)>0)]이면 [math(f)]는 [math((a,\,b))]에서 위로 오목(아래로 볼록)이고,
2.[math(\ f''(x)<0)]이면 [math(f)]는 [math((a,\,b))]에서 아래로 오목(위로 볼록)이다.
[math(f)]를 [math(c)]에서 연속인 함수라 할 때, [math(f)]가 [math(c)]를 경계로 한쪽에서는 위로 오목(아래로 볼록)이고 다른 쪽에서는 아래로 오목(위로 볼록)이면 [math((c,\,f(c)))]를 [math(f)]의 변곡점(inflection point)이라고 한다. 여기서 [math(f''(x)=0)]인 점이 항상 변곡점인 것은 아니라는 것에 유의하자. [math(\ f''(x)=0)]이면서 좌우의 [math(f''(x))]의 부호가 반대인 점이 변곡점이며 또한 [math(f''(x)=0)]의 값이 존재하지 않는 점이 변곡점이 될 수도 있다.
3.3. 극댓값과 극솟값[편집]
자세한 내용은 극값 문서를 참고하십시오.
극댓값이란 주변값보다 큰 값을, 극솟값은 주변값보다 작은 값을 의미한다. 극댓값·극솟값의 정확한 정의는 다음과 같다.
[math(S)]는 [math(f)]의 정의역이고, [math(c\in S)]라 하자.
1. [math(c)]를 포함하는 열린구간 [math(I)]가 존재하여 [math(f(c))]가 집합 [math(I\cap S)]에서 [math(f)]의 최댓값이면 [math(f(c))]를 [math(f)]의 극댓값(local maximum value)이라고 한다.
2. [math(c)]를 포함하는 열린구간 [math(I)]가 존재하여 [math(f(c))]가 집합 [math(I\cap S)]에서 [math(f)]의 최솟값이면 [math(f(c))]를 [math(f)]의 극솟값(local minimum value)이라고 한다.
3. [math(f(c))]가 극댓값이거나 극솟값이면 [math(f(c))]를 [math(f)]의 극값(local extreme value)이라고 한다.
여기서 임계점 정리의 최대·최솟값을 극값으로 바꾸어도 성립한다. 즉 끝점, 정점 그리고 특이점이 극값이 될 수 있다. 이때 도함수를 이용하면 극값을 판정할 수 있다.
[math(f)]는 [math((a,\,b)-\{c\})]에서 미분 가능하고, 임계점 [math(c)]는 [math((a,\,b))]의 원소일 때,
1. [math((a,\,c))]의 임의의 점 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)>0)]이고, [math((c,b))]의 임의의 점 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)<0)]이면 [math(f(c))]는 [math(f)]의 극댓값이다.
2. [math((a,\,c))]의 임의의 점 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)<0)]이고, [math((c,b))]의 임의의 점 [math(x)]에 대하여 [math(f'(x)>0)]이면 [math(f(c))]는 [math(f)]의 극솟값이다.
3. [math(c)]의 양쪽에서 [math(f'(x))]의 부호가 같으면 [math(f(c))]는 극값이 아니다.
3.4. 점근선[편집]
자세한 내용은 점근선 문서를 참고하십시오.
3.5. 리시 방법[편집]
자세한 내용은 리시 방법 문서를 참고하십시오.
초등함수의 도함수를 구하는 방법을 일반화시킨 것이다.