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스털링 근사
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1. 개요[편집]
스털링 근사는 계승, 나아가 감마 함수에 대한 근삿값을 구할 수 있도록 하는 식이다. 일반적으로는 아래와 같은 식으로 표현되며
[math(\displaystyle \begin{aligned} n! &\approx \sqrt{2\pi n} \Bigl( \frac ne \Bigr)^{\!n} \\ \ln(n!) &\approx n \ln{n} -n \end{aligned} )] |
[math(\displaystyle \begin{aligned} n! &\approx \sqrt{2\pi n} \Bigl( \frac ne \Bigr)^{\!n} \biggl( 1 +\frac1{12n} +\frac1{288n^2} -\frac{139}{51840n^3} -\frac{571}{2488320n^4} +\frac{163879}{209018880n^5} +\cdots \biggr) \\ \ln(n!) &\approx n \ln{n} -n +\frac12 \ln{n} +\frac12 \ln(2\pi) +\frac1{12n} -\frac1{360n^3} +\frac1{1260n^5} -\frac1{1680n^7} +\cdots \end{aligned} )] |
식에서 예상할 수 있듯이, 작은 수에서는 오차가 크다.
1.1. 예시[편집]
[math(15000!)]의 근삿값을 구해보자.
[math(\displaystyle \begin{aligned} 15000! &\approx \sqrt{2\pi \times 15000} \,\biggl( \frac{15000}e \biggr)^{\!15000} \\ &\approx 2.74 \times {10}^{56129} \end{aligned} )] |
2. 간단한 증명[편집]
이 문단에서는 다음 식만 증명할 것이다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} n! &\approx \sqrt{2\pi n} \Bigl( \frac ne \Bigr)^{\!n} \end{aligned} )] |
- 참고식 [math(A)]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{\frac{k-1}n}^{\frac kn} \biggl( \frac kn -x \biggr) {\rm d}x = \frac1{2n^2} \end{aligned} )] |
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- 참고식 [math(B)]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} = \sqrt2 \end{aligned} )] |
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- 참고식 [math(C)]
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!} = \sqrt\pi \end{aligned} )] |
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여기까지 왔으면 이제 스털링 근사식의 간단한 증명은 매우 쉽다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac{n!}{n^n e^{-n} \sqrt n} &= \lim_{n\to\infty} \frac{e^n n!}{n^n \sqrt n} \frac{}{} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\,4^n} \frac{e^n n!}{n^n \sqrt n} \frac{4^n n!}{(2n)!} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{(2n)!}{n!\cdot n^n} \Bigl( \frac e4 \Bigr)^{\!n} \cdot \lim_{n\to\infty} \frac{4^n (n!)^2}{\sqrt n (2n)!} \\ &\overset{B,C}{\!\,=} \sqrt2 \cdot \sqrt\pi = \sqrt{2\pi} \\ \therefore n! &\approx n^n e^{-n} \sqrt n \sqrt{2\pi} = \sqrt{2\pi n} \Bigl( \dfrac ne \Bigr)^{\!n} \end{aligned} )] |