정축체

1. 개요[편집]

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正軸體 / cross-polytope, orthoplex

기하학에 등장하는 도형의 일종. n차원 직교좌표계에서 원점으로부터 같은 거리에 있고 각각의 축 위에 있는 꼭짓점을 가진 볼록 정다포체, 또는 그와 닮음인 도형을 의미한다. 방정식으로는 [math(\sum\limits_{i=1}^{n}|x_i|=1)]로 표현된다. n차원 초입방체와 쌍대 관계이다.

2. 정보[편집]

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n차원 정축체가 있을 때, 각각의 n에 대해 다음과 같다.
(단, [math(n>m)])

한 변의 길이가 [math(a)]인 n-정축체가 있을 때, (단, [math(n\ge2, 1\le m \le n-1)])

m차원 겉부피 = [math(_{n}\mathrm{C}_{m+1})][math(\dfrac{2^{\frac{m}{2}+1}\sqrt{m+1}}{m!}a^m\quad)]
n차원 초부피 = [math(\dfrac{\sqrt{2}^n}{n!}a^n\quad)]

[math(n)]-정축체의 대칭은 유한 콕서터 군 [math(BC_n)]에 해당하며, 대칭 차수는 [math(2^nn!)]이다.

언어적으로는 한국어를 기준으로 할 때, 1차원의 '점'이 2차원에서는 '각'으로 불리며, 이 각들이 모여 '형'을 이룬다. 다시 이 2차원의 '형'은 3차원에서는 '면'으로 불리며, 이 면들이 모여서 '체'를 이룬다. 4차원에서는 체들이 모여 '포'를 이루지만 최종 결과물은 여전히 '체'로 불린다.