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오일러-마스케로니 상수
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1. 개요[편집]
Euler-Mascheroni constant
오일러-마스케로니 상수는 레온하르트 오일러가 발견하고 이탈리아의 수학자 로렌초 마스케로니가 더 자세한 값을 밝힌 수로, 조화급수와 그 근사 함수인 자연로그의 차의 극한에 해당하며 그 값은 약 0.5772156649이다. 최초 발견자인 오일러의 이름을 따 오일러 상수(Euler's constant)라 부르기도 하지만, 자연로그의 밑, 오일러 수열 등 비슷한 이름의 다른 수가 워낙 많아 헷갈릴 여지가 크므로 마스케로니의 이름까지 같이 붙여주는 경우가 많다. 수학자들은 대부분 무리수이자 초월수로 보지만, 정작 초월수는 커녕 무리수인지에 대한 증명조차 이루어지지 않았다. 일반적으로 [math(\gamma)]로 표기된다.
반면 마스케로니가 수학적으로 그다지 큰 의미는 없는 값의 계산 정도에만 기여했기 때문에 그의 이름까지 붙여줄 정도의 업적은 아니라고 보는 수학자들도 많다. 그래서 일부 수학자들은 이 수를 오일러 상수로만 부르고 자연로그의 밑은 오일러 수(Euler's number)라고 불러 구분하기도 한다.
초월수(정확히는 초월수라고 강하게 추측되는 수) 중에서는 정의가 상당히 단순한 편이며, 스티븐 R. 핀치는 그의 저서 '수학 상수(Mathematical Constants)'에서 이 상수를 원주율, 자연로그의 밑 다음으로 중요한 상수라고 말했다. [math(\gamma)]의 자연지수값인 [math(e^\gamma)] 또한 정수론 분야, 특히 해석적 정수론 분야에서 자주 나온다.
파인만 포인트와 비슷한 지점이 꽤 있다.
2. 역사[편집]
오일러는 《조화급수에 대한 관찰》(De Progressionibus harmonicis observationes, 1734)이라는 논문에서 조화급수의 발산 양상이 자연로그의 발산 양상과 유사함을 증명하고 그 차를 [math(C)]로 나타냈으며 값은 [math(0.{\bf57721}8)][1] 정도임을 보였다. 뒤이어 이탈리아의 수학자 로렌초 마스케로니는 《오일러의 적분 계산에 대한 주석》(Adnotationes ad calculum integralem Euleri, 1790)이라는 논문에서 [math(A)]라는 기호로 나타냈고 그 값이 [math(0.{\bf5772156649015328606}181{\bf12090082}39)]라 계산[2] 하였다. 여기까지 보면 알겠지만 둘 다 [math(\gamma)]라는 기호를 쓴 적이 없음을 알 수 있다. 1835년이 되어서야 독일의 수학자 카를 안톤 브레치나이더(Carl Anton Bretschneider)에 의해 감마 함수와의 밀접한 관계가 밝혀지면서 [math(\gamma)]라는 기호가 부여되었다.
3. 정의[편집]
어떻게 저 값이 상수가 되는지는 여기를 참고. 첫 번째 식이 가장 널리 알려진 표현이며 두 번째 식은 자연로그를 적분식으로 바꿔준 꼴인데 본 상수가 [math(\dfrac 1x)]의 이산적 합과 연속적 합의 차임을 알 수 있다. 세 번째, 네 번째 식은 극한을 생략한 표기로써 두 번째 식을 다르게 표현한 것에 불과하다. 참고로 [math(\lfloor x \rfloor)]는 바닥함수이다.
4. 감마 함수와의 관계[편집]
전술한대로 이 상수는 감마 함수와 밀접한 관련이 있다. 감마 함수의 단순항꼴의 양변에 자연로그를 씌우고 미분해주면 다음과 같은 식을 얻는다.
여기서 [math(z=1)]을 대입하면 [math(\Gamma(1) = (1-1)! = 0! = 1)]이므로 다음의 결과를 얻는다.
즉, [math(\gamma = -\Gamma'(1))]이 된다. 한편, 감마 함수의 적분꼴은 다음과 같으며 [math(-\Gamma'(1))]을 계산해주면 다음과 같은 형태의 적분꼴을 얻는다.[3]
치환 적분을 이용하면 다음과 같은 다른 형태의 적분꼴들도 유도할 수 있다.
- [math(x=e^{-t})]로 두면 [math({\rm d}x = -e^{-t} \,{\rm d}t)]이고, [math(t\to0)], [math(t\to\infty)]일 때 각각 [math(x\to1)], [math(x\to0)]이므로
- [math(x=\ln t)]로 두면 [math(e^x=t)]에서 [math(e^x \,{\rm d}x = {\rm d}t)]이고, [math(t\to0)], [math(t\to\infty)]일 때 각각 [math(x\to-\infty)], [math(x\to\infty)]이므로
5. 이 수는 유리수인가 무리수인가[편집]
1986년 이 수가 유리수인지 무리수인지에 대한 질문이 제기되었고, 이는 현재까지 풀리지 않은 난제이다. 다만, 수학자들은 이 상수가 초월수[4] 일 것으로 예상하고 있다. 1997년에 연분수 분석법을 이용하여, 오일러-마스케로니 상수가 유리수일 경우, 그것을 기약분수로 나타내었을 때의 분모는 [math(10^{244663})]이 넘는다는 것을 밝혔다출처. 그리고 나서 감감 무소식.
그러나 아무런 진전이 없었던 것은 아니다. 무리수인지 여부에 대한 질문이 제기되기 전에 이미 1968년에 베셀 함수가 포함된 수 [math(\dfrac\pi2 \dfrac{Y_0(2)}{J_0(2)} -\gamma)]가 초월수라는 사실이 밝혀졌으며출처, 21세기에 들어서는 2009년에 [math(\gamma)]와 곰페르츠 상수 [math(\delta)] 중 적어도 하나는 무리수라는 사실이 밝혀졌고출처, 2012년에는 그 둘 중 적어도 하나가 초월수임이 밝혀졌다출처.
여튼 이런지라 현 시점에서는 디리클레 함수[5] 를 취한 [math(\bold1_{\mathbb Q}(\gamma))]의 값은 부정이다.
6. 사용[편집]
특수함수 중 하나인 지수 적분 함수 [math(\mathrm{Ei}(x))]의 무한급수 표기, 로그 적분 함수 [math(\operatorname{Li}(x))]의 무한급수 표기, 코사인 적분 함수 [math(\operatorname{Ci}(x))]의 무한급수 표기, 쌍곡선 코사인 적분 함수 [math(\operatorname{Chi}(x))]의 정의식, 로그함수의 라플라스 변환[6] , 감마 함수, 제타 함수, 스틸체스 상수 등에서 접할 수 있다. 그 외에도 다양한 부분에서 이 상수가 튀어나온다.
6.1. 항등식[편집]
이 문단에서는 오일러-마스케로니 상수가 등장하는 여러 식들을 소개한다.
적분 구간을 좀 더 일반화하면 다음과 같은 결과를 얻는다.