소피 제르맹의 정리

1. 개요[편집]

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Théorème de Sophie Germain / Sophie Germain 定理

정수론에서 가장 오래된 떡밥인 페르마의 마지막 정리를 증명하는데 큰 도움을 준 정리이다. 이름 그대로 19세기 프랑스의 수학자인 소피 제르맹이 증명했다.

p가 소피 제르맹 소수. 즉 p와 2p+1이 둘 다 소수일 때, 이때, 서로소인 정수 [math(x, y, z)]가 [math(x^p + y^p + z^p = 0)]을 만족시킨다고 가정하면 이하의 성질을 만족시킨다.

[math(xyz\equiv 0 \pmod{\theta} \Leftrightarrow x^p + y^p + z^p \equiv 0 \pmod{\theta})].(단, [math(\theta)]는 소수.)[1]

[math(xyz\equiv 0 \pmod{\theta})]는 이 방정식을 만족하는 정수쌍은 자명한 해 밖에 없다라는 의미다. [math(p, \theta)]가 소수이므로 [math(xyz\equiv 0 \pmod{\theta})]인 시점에서 [math(x, y, z)] 셋 중 하나는 [math(\theta)]의 배수여야 하며, 여기에 이 세 쌍이 반드시 가져야만 하는 성질(예를 들어서 세 수를 곱하면 반드시 [math(p)]의 배수여야 한다.)을 총 동원할 경우 [math(xyz=0)](즉 [math(x^p+0=z^p)]이거나 [math(x^p+(-x)^p=0)])일 수 밖에 없기 때문.

[math(\forall x, \nexists x^p \equiv p \pmod{\theta})]

소피 제르맹은 이 정리를 이용하여 100 이하의 모든 소피 제르맹 소수에 대해 페르마의 마지막 정리가 성립한다는 것을 보였다. 정확히는 소피 제르맹이 제시한 정리는 다음과 같다.

임의의 보조 소수 [math(\theta)]를 가정하자.

1. 0이 아닌 [math(p)]의 서로 다른 두 거듭제곱이 법 [math(\theta)]에 대하여 합동이다.

1. [math(p)]는 어떠한 수의 [math(p)] 거듭제곱과도 법 [math(\theta)]에 대하여 합동이 아니다.

이 두 조건을 만족하는 보조 소수 [math(\theta)]가 존재할 경우, [math(x^p+y^p+z^p=0)]일 때[2]

[math(p)]가 3 이상의 소수이기 때문에 [math(x^p+y^p=(-z)^p)]와 동치다.

, [math(x,y,z)]중 적어도 하나는 [math(p^2)]의 배수이다.

이를 일반화한 게 100 미만의 소피 제르맹 소수 전반으로 확장된 바로 위의 문장. 그 후, 이를 분석한 수학자들에 의해 100의 상한은 197로, 그 이후 1700까지 증가했다. 참고로 소피 제르맹은 저 아이디어를 바탕으로 [math(n=5)]일 때를 증명해냈다.

2. 소피 제르맹 소수 / 안전 소수[편집]

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어떤 수 p 와 2p+1이 동시에 소수일 때, p 를 소피 제르맹 소수, 2p+1을 안전 소수(safe prime)라고 부른다. 안전 소수라는 이름이 붙은 이유는 이런 소수를 이용하여 암호 알고리즘을 만들 경우 해독이 더 어려워지기 때문이라고 한다.

예를 들어 p = 5일 때, 2p+1 = 11로 소수이므로, 5는 소피 제르맹 소수, 11은 안전 소수가 된다.

소피 제르맹 소수는 무한히 많을 것으로 추측되지만, 증명되지는 않았다.

2.1. 1000보다 작은 소피 제르맹 소수 목록[편집]

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3. 관련 문서[편집]

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• 정수론
• 페르마의 마지막 정리