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평균값 정리
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1. 개요[편집]
平均値定理 / Mean Value Theorem, MVT[1]
미분가능한 함수에 관한 정리로, 라이프니츠가 최초로 고안했고 이후의 학자들에 의해 여러 바리에이션과 마개조를 거친 이론들이 꽃을 피우게 된다. 한국에선 고등학교 수학 II를 배울 때 기본적인 평균변화율의 개념을 처음 접하게 된다.
2. 상세[편집]
고등학교에서 배우는 평균값의 정리는 다음과 같다.
기하학적으로 해석하면 두 점 [math(A\left(a, f\left(a\right)\right), B\left(b, f\left(b\right)\right))]를 연결하는 직선과 평행한 접선이 구간 [math(\left(a, b\right))] 안에 적어도 하나 존재한다는 뜻이다. 만약 [math(f\left(a\right) = f\left(b\right))]이면 롤의 정리가 성립한다. 즉, 평균값의 정리는 롤의 정리의 일반화라고 할 수 있다.함수 [math( f\left(x\right) )]가 닫힌 구간 [math( \left[a, b\right] )]에서 연속이고 열린 구간 [math( \left(a, b\right) )]에서 미분가능하면 [math( \displaystyle \frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a} = f'\left(c\right), c \in \left(a, b\right) )]인 [math(c)]가 적어도 하나 존재한다.
이 정리 덕에 부정적분값에 상수만 붙이는 게 정당화된다. 즉, [math( F'\left(x\right) = f\left(x\right) )]일 때 미분하여 [math( f\left(x\right) )]가 되는 함수는 [math( F\left(x\right)+C)] 꼴뿐이다.
미적분의 기본정리를 접하기 전 단계에서는 미분에서 가장 중요한 근간이 되는 정리이다. 미분 문제, 특히 접선을 이용한 방정식과 부등식류의 문제를 풀다가 잘 모르겠을 때는 평균값 정리를 적용하면 쉽게 풀리는 경우가 대부분이다.
평균값 정리의 기하학적 의미는 곡선 [math(y = f(x))] 위의 두 점 [math( (a, f(a)))]와 [math((b, f(b)))]를 지나는 선분에 대하여, 구간 [math([a,\,b])]에서 곡선 [math(y = f(x))] 위의 어떤 점의 접선이 이 선분에 평행하다는 것을 뜻한다.
앞의 평균값 정리에서 [math(b-a = h)]라 하면 [math(c-a < b-a)]이므로 [math(0<\displaystyle {c-a \over h}<1)]이 된다. 여기서 [math( \theta =\displaystyle {c-a \over h})]로 놓으면 평균값 정리는
와 같이 나타낼 수 있다. 즉, 가까운 두 점을 한 점의 함숫값과 그 점 인근의 미분값을 이용해서 계산할 수 있다는 것이며, 이것이 바로 선형근사의 기본 접근방식이다.[math(f(a+h) = f(a) + hf'(a + \theta h))], [math(0< \theta < 1)]
3. 코시의 평균값 정리[편집]
고등학교에서 배우는 평균값의 정리를 좀 더 일반화한 버전으로, 내용은 다음과 같다.
함수 [math( f\left(x\right) )]와 [math( g\left(x\right) )]가 닫힌 구간 [math( \left[a, b\right] )]에서 연속이고 열린 구간 [math( \left(a, b\right) )]에서 미분가능하면 [math( f'\left(c\right)\left[g\left(b\right)-g\left(a\right)\right] = g'\left(c\right)\left[f\left(b\right)-f\left(a\right)\right] )]인 [math(c)]가 [math( \left(a, b\right) )]내에 적어도 하나 존재한다.
여기서 [math(g\left(x\right) = x )]라 두면 우리가 보통 알고 있는 평균값의 정리가 된다.
4. 활용[편집]
4.1. 함수의 증감[편집]
여러 가지 활용이 있겠지만, 함수의 그래프를 그리는 방법이 가장 익숙할 것이다.
함수 [math(f)]가 [math(\left(a, b\right))]에서 미분가능하고 모든 [math(x\in(a,b))]에 대해 [math(f'\left(x\right) > 0 )]이면, [math(f)]는 그 구간에서 증가한다.
비슷한 방법으로 아래 명제를 증명할 수 있다.
함수 [math(f)]가 [math(\left(a, b\right))]에서 미분가능하고모든[math(x\in(a,b))]에 대해 [math(f'\left(x\right) < 0 )]이면, [math(f)]는 그 구간에서 감소한다.
4.2. 로피탈의 정리[편집]
해당 문서 참고
4.3. 미분가능성[편집]
어떤 한 점에서 미분가능성을 모를 때, 주변 미분계수의 극한을 관찰함으로써 미분가능성을 판정할 수도 있다.
실수 [math(a)]를 포함하는 열린구간 [math(I)]에서 정의된 함수 [math(f)]가 있을 때, [math(f)]가 [math(a)]에서 연속이고 [math(I-\left\{a\right\})]에서 미분가능하며, [math(\displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right)=L)]이면([math(L)]은 실수) [math(f)]는 [math(a)]에서 미분가능하고 [math(f'\left(a\right)=L)]이다.
참고로 [math(\displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right)=\pm\infty)]이면 [math(f)]가 [math(a)]에서 미분가능하지 않고, [math(\displaystyle \lim_{x\to a}f'\left(x\right))]가 수렴하지도, 무한대로 발산하지도 않는경우 이 방법으로는 미분가능성을 판단할 수 없다. 로피탈의 정리와 사용조건이 같다는 걸 알 수 있다.[2]
4.4. 적분의 평균값 정리[편집]
대학교 미분적분학에 등장한다. 이 정리는 주어진 곡선에 대한 면적과 같은 직사각형을 구하는 데 도움을 준다. 그 외에도 다각형의 무게중심 역시 이 평균값 정리를 응용해서 구할 수 있다.
함수 [math(f)]가 실수상에 속하는 폐구간[math([a, b])]에서 연속함수이면, [math(\displaystyle \frac{1}{b-a}\int^{b}_{a} f(x)\mathrm{d}x = f(c))]를 만족시키는 [math(c\in(a, b))]가 존재한다.
4.5. 가우스의 평균값 정리[편집]
Gauss's mean value theorem
복소평면상에서 코시 적분 공식에서 유도되는 공식.
함수 [math(f)]가 닫힌 원 [math(\left|z-z_{0}\right|\leq r)]에서 해석적(analytic)이면, [math(f(z_{0})=\displaystyle{\frac{1}{2\pi}}\int_{0}^{2\pi}f(z_{0}+re^{i\theta})\mathrm{d}\theta)]이다.
5. 활용[편집]
- 이차함수는 임의의 닫힌 구간에서 평균값 정리를 만족시키는 점이 항상 해당 구간의 정중앙에 존재한다는 특수한 성질을 갖는다. 다항함수/공식 참고.
- 삼차함수는 평균값 정리의 역의 반례가 존재하는 최소 차수의 다항함수이다. 삼차함수 참고.
- 경제성장론의 솔로우-스완 모형에서, 생산함수의 그래프에 대하여 닫힌 구간 [math([0,\,k_{\rm max}])]에서 평균값 정리를 만족시키는 점에서 균제상태의 소비가 최대가 되며 이때의 자본-노동 비율을 '황금률 자본-노동 비율'이라 하고 [math(k_{\rm G})]로 표기한다.
- 테일러 급수의 오차항은 여러가지 형태가 있는데, 그 중에서 라그랑주의 오차항을 이용할 경우 [math(n=0)]인 경우에는 그 오차항이 평균값 정리와 동일해진다. 그렇기에 확장 평균값 정리(Extended mean value theorem)를 라그랑주의 오차항을 채용한 테일러 급수와 동일시하기도 한다.